Curiosa Mathematica

241. Eindeloos typende apen
behouden. De verdeling moet ook schaal-invariant zijn: onafhankelijk van de gebruikte maateenheid,
zoals meter, voet of inch. Pas in 1995, en in 1998 met een vervolgstudie, wist Theodore Hill een afdoende
verklaring voor de logaritmische verdeling te geven voor schaal-invariante gegevensverzamelingen met
behulp van geavanceerde waarschijnlijkheidsrekening.
Hill bewees ook dat schaal-invariantie radix-invariantie impliceert; Benfords wet blijft geldig als van
grondtal veranderd wordt, mits aanpassing van het grondtal van het logaritme (merk op dat dit voor
binaire gegevens een correcte maar triviale verdeling geeft, aangezien elk getal behalve 0 daar met cijfer
1 begint). Daaruit volgt tevens dat de wet uitbreidbaar is naar tweede, derde en volgende cijfers,
bijvoorbeeld P(1 als eerste cijfer, 2 als tweede cijfer, 4 als derde cijfer) = log 1+ 1
124 .
P(n als eerste cijfer in grondtal d) = d
log 1+ 1
n
Exponentiële processen, Fibonaccigetallen, faculteiten, machten van twee...voldoen exact aan de wet
(asymptotisch gezien), vierkantswortels en omgekeerden niet. Als praktische toepassing wordt de wet
gebruikt om fraude op te sporen: omdat ze zo contra-intuïtief is, zijn fraudeurs meestal geneigd uniformere
gegevens te kiezen, terwijl legitieme boekhoudingen voldoen aan de verdeling van Benford.
241 Eindeloos typende apen
In dit gedachte-experiment van Émile Borel uit 1913 laten we op een typmachine een aap los, die in
willekeurige volgorde de toetsen intikt. De stelling van de eindeloos typende aap garandeert nu dat als
we de aap maar lang genoeg bezig laten, hij uiteindelijk elke denkbare tekst - zoals het volledige Hamlet
van Shakespeare - zou reproduceren!
De kansen dat de toetsen worden aangeslagen, worden onafhankelijk van elkaar beschouwd, dus de aap
heeft geen voorkeur voor een bepaalde letter of lettercombinatie. Als we veronderstellen dat de typmachine
50 toetsen heeft (letters, cijfers en enkele leestekens), kunnen we de kans berekenen dat de aap
“banaan” typt als 1
50 6 = 6,4×10 −11 : een zeer kleine kans, maar niet nul en dus niet onmogelijk.
Omgekeerd wordt de kans dat de aap nooit “banaan” produceert na n blokken 1− 1
506 n. Op den duur,
voor n → ∞, wordt deze kans nul, en zal de aap dus met 100% waarschijnlijkheid de gevraagde uitvoer
typen. Hetzelfde argument gaat op voor langere teksten, zoals Hamlet dat zo’n 130.000 letters bevat.
Een soortgelijke situatie beschrijft oneindig veel typende apen. Een analoge berekening wijst dan uit dat
minstens één aap direct de verwachte tekst herproduceert met 100% waarschijnlijkheid.
242 Stokjes breken
Een stokje wordt gebroken in n stukken, op n − 1 uniform en willekeurig
gekozen breekpunten. Wat is de kans dat deze n stukken kunnen worden
samengelegd tot een n-hoek?
Probeer eerst het geval n = 3, dus de kans dat een in drie gebroken stokje een driehoek kan vormen.
Onderstel voor het gemak dat het stokje voor het breken eenheidslengte heeft en noem de verkregen
lengtes a, b en c; uit de driehoeksongelijkheid weten we dat deze tot een driehoek samengelegd kunnen
worden als en slechts als a+b > c, a+c > b en b+c > a. Een beetje prutsen met deze ongelijkheden
levert op dat zowel a, b als c kleiner dan 1
2
moeten zijn. Een mooie meetkundige manier om deze kans
uit te rekenen maakt gebruik van de stelling van Viviani (zie 166, blz. 109):
161