Curiosa Mathematica

318 Viergroep van Klein
XV Groepentheorie
De viergroep van Klein is een kleine, vaak terugkerende groep, zo genoemd door Felix Klein in zijn werk
Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade uit 1884 en als V
genoteerd. Ze is de kleinste niet-cyclische groep en wordt vastgelegd door de volgende presentatie:
V = a,b | a 2 = b 2 = (ab) 2 = 1
De groep is abels (commutatief), isomorf met Z2 ×Z2, en heeft de volgende Cayleytabel.
· 1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1
Enkele andere manifestaties van de viergroep van Klein:
• {00,01,10,11} onder bitsgewijze Xor
• {1,3,5,7} onder vermenigvuldiging modulo 8
• De symmetriegroep van een (strikte) ruit of rechthoek
• {(1)(2)(3)(4),(1 2)(34),(13)(24),(14)(23)} als permutaties van punten
De Kleingroep kan een onverwacht resultaat bewijzen omtrent het Solitairespel.
319 Symmetriegroepen
240