Curiosa Mathematica

163. Rechte van Euler
waarin de bollen raken aan de kegel bepalen een vlak; de snijlijnen tussen deze vlakken en het vlak waarin
de kegelsnede ligt zijn diens richtlijnen.
163 Rechte van Euler
Leonhard Euler bewees in 1765 dat in een willekeurige driehoek, het zwaartepunt, hoogtepunt en het
middelpunt van de omgeschreven cirkel collineair zijn. Bij een gelijkzijdige driehoek vallen deze punten
samen. Later werden er nog heel wat belangrijke punten toegevoegd aan deze bevinding, zoals het
middelpunt van de negenpuntscirkel (zie 145, blz. 86), het punt van Schiffler, het punt van Exeter...De
gemeenschappelijke rechte waar al deze punten op liggen, heet de rechte van Euler.
Daarenboven vormen het middelpunt O van de omgeschreven cirkel, het zwaartepunt G, het middelpunt
N van de negenpuntscirkel en het hoogtepunt H, een harmonisch viertal en is de onderlinge relatieve
afstand ertussen respectievelijk 2, 1 en 3.
O G N H
Een ander punt dat ook op de rechte van Euler blijkt te liggen, is het punt van Schiffler. Trek in een
driehoek de drie lijnstukken vanuit het middelpunt van de ingeschreven cirkel tot zijn hoekpunten, zodat
er een partitie in drie nieuwe driehoeken ontstaat. Construeer in elk van deze driehoeken de rechte van
Euler. Volgens de stelling van Schiffler zijn dan deze drie rechten concurrent en hun snijpunt, het punt
van Schiffler, ligt ook op de Eulerrechte van de originele driehoek.
Het punt van Exeter wordt geconstrueerd door de snijpunten A ′ , B ′ en C ′ van de zwaartelijnen van de
driehoek ∆ABC met zijn omgeschreven cirkel. De raaklijnen van de omcirkel met A, B en C leggen
een nieuwe driehoek vast. De verbindingslijnen van zijn hoekpunten met A ′ , B ′ en C ′ zijn concurrent;
hun snijpunt is het punt van Exeter, pas ontdekt in 1986 tijdens een computerworkshop aan de Phillips
Exeter Academy.
106