Curiosa Mathematica

253. Stelling van Best
verbinden en bestaan uit n−1 bogen. Volgens Kirchhoff is het aantal opspannende bomen in de graaf
G net gelijk aan elke minor van L(G), de determinant van de matrix verkregen door uit L(G) een
willekeurige rij en kolom te schrappen, in absolute waarde. In het voorbeeld geeft dit 5, en inderdaad:
−→
Voor een samenhangende graaf met eigenwaarden λ1 tot λn−1 verschillend van nul kan het aantal dergelijke
bomen ook worden uitgedrukt als 1
n ·λ1...λn−1.
Specifiek toegepast op een complete graaf Kn bekomen we de formule van Cayley (zie 254, blz. 173),
omdat onderstaande Laplaciaanse matrix steeds nn−2 als absolute minoren heeft:
⎡
⎤
n−1 −1 ··· −1
⎢
⎥
⎢ −1 n−1 ··· −1 ⎥
L(Kn) = ⎢
⎥
⎢ .
⎣ . . .. ⎥
. ⎦
−1 −1 ··· n−1
253 Stelling van Best
Vernoemd naar Cedric Smith and Bill Tutte, die in 1941 een speciaal geval aantoonden, en Nicholaas
de Bruijn en Tatyana van Aardenne-Ehrenfest, die in 1951 het algemene resultaat bekwamen, geeft de
stelling van Best een formule voor het aantal Eulercircuits (zie 243, blz. 163) in bepaalde grafen. De
stelling is van toepassing op gerichte grafen (met georiënteerde bogen) waarin Eulercircuits mogelijk zijn,
d.w.z. waarin de in- en uitgraad van elke top gelijk is. Voorgesteld met pijlen moeten er in elke top
evenveel pijlen toekomen als eruit vertrekken.
De stelling maakt gebruik van zogenaamde gewortelde bomen, waarin voor elke top een gericht pad naar
een bepaalde top (de wortel) gevonden kan worden, bijvoorbeeld deze hierboven rechts.
Kies een specifieke top w uit en bepaal het aantal gewortelde bomen met wortel w, genoteerd als tw. De
in- en uitgraad van een top v, gelijk verondersteld, wordt genoteerd met deg(v). De stelling van Best
stelt nu dat het totaal aantal Eulercircuits gegeven wordt door:
tw ·
(deg(v)−1)!
v
Hierbij loopt het product over alle toppen van de graaf. Uit de stelling blijkt direct dat het aantal bomen
geworteld in w gelijk is voor elke top w, wat al totaal niet evident is. Nog minder voor de hand liggend
172