Curiosa Mathematica

131. Stelling van Jung
De formule kan eenvoudig worden uitgebreid voor veelhoeken mét gaten. Noemen we het aantal gaten
H, dan bestaat de veelhoek uit H +1 aparte gesloten krommen en herleidt de formule zich tot:
131 Stelling van Jung
A = O
2
+I +H −1
Beschouw in een Euclidische ruimte, zoals het gewone vlak, een aantal punten. Noem d de grootste
afstand die tussen twee punten optreedt. De stelling van Jung, toegepast in het Euclidisch vlak, stelt nu
dat alle punten binnen een cirkel kunnen worden verzameld met straal r, waarbij de volgende ongelijkheid
geldt:
r ≤ d √ 3
Gelijkheid treedt pas op indien de uiterste punten op een gelijkzijdige driehoek liggen.
De originele stelling is een veralgemening naar de n-dimensionale ruimte. In een Euclidische ruimte met
dimensie n wordt de ongelijkheid:
n
r ≤ d
2(n+1)
De stelling wordt vernoemd naar Heinrich Jung, die de ongelijkheid in 1901 bestudeerde.
132 Stelling van Holditch
Neem een gesloten, vloeiende en convexe kromme K. We tekenen een koorde van de kromme en kiezen
een willekeurig punt P op deze koorde, zodat die verdeeld wordt in twee stukken met lengtes p en q.
Vervolgens laten we de koorde binnen de convexe kromme glijden zodanig dat de lengte van de koorde
constant blijft. Het punt P beschrijft zelf dan ook een kromme, de Holditchkromme L genoemd.
Nu zegt de stelling van Holditch dat de oppervlakte A tussen de twee krommen K en L gelijk is aan:
A = πpq
De oppervlakte hangt dus enkel af van de eigenschappen van de koorde, niet van de oorspronkelijke
kromme K (vorm noch grootte). Deze stelling werd gepubliceerd door Hamnet Holditch in 1858.
77