Curiosa Mathematica

195. Drakenkromme
195 Drakenkromme
• V : X,Y,F,+,−
• ω: FX
• P: (X → X +YF), (Y → FX −Y)
• Turtle Graphics:
◦ F: teken een eenheid vooruit
◦ +: draai 90 ◦ naar rechts
◦ −: draai 90 ◦ naar links
Merk op dat in deze Turtle Graphics X en Y niet corresponderen met enige grafische handeling, ze dienen
enkel ter controle over de evolutie van de kromme. De drakenkromme levert dit spectaculaire resultaat
op na 14 iteraties:
196 Mandelbrotverzameling
De Mandelbrotverzameling is een verzameling punten in het complexe vlak waarvan de rand een fractale,
zeer karakteristieke vorm heeft. Ze vindt haar oorsprong in de studie van complexe dynamische systemen,
een veld dat begin de 20 ste eeuw verkend werd door de Franse wiskundigen Pierre Fatou en Gaston Julia,
en wordt vernoemd naar Benoit Mandelbrot, die de verzameling onderzocht en populariseerde.
Beschouw het dynamisch systeem Pc : C → C : z ↦→ z 2 +c, waarin c een complexe parameter is. Itereer
nu deze functie startende vanuit het kritische punt nul, m.a.w. bereken de baan van nul:
0,Pc(0),Pc(Pc(0)),Pc(Pc(Pc(0)))...P n c (0)...
Er zijn drie mogelijkheden voor een dergelijke rij: divergentie naar oneindig, attractie naar een periodieke
cykel, of convergentie. De Mandelbrotverzameling wordt dan gedefinieerd als de verzameling van juist
die complexe c-waarden waarvoor de baan van nul begrensd blijft en dus niet divergeert naar oneindig.
De imaginaire eenheid i als c-waarde doet nul algauw in een 2-cykel belanden: 0,i,i−1,−i,i−1,−i...
Deze rij is duidelijk begrensd, zodat bijvoorbeeld i in de Mandelbrotverzameling wordt opgenomen. Daarentegen,
het getal 1 doet de baan divergeren (0,1,2,5,26...), zodat 1 niet in deze verzameling zit.
124