Curiosa Mathematica

166 Stelling van Viviani
166. Stelling van Viviani
De stelling van Vincenzo Viviani, leerling van Galileo Galileï en Evangelista Torricelli, stelt dat de som
van de afstanden van eender welk punt binnen een gelijkzijdige driehoek tot diens zijden, constant is.
Meer bepaald is die som juist gelijk aan de hoogte van de driehoek, wat dan volgt als limietgeval door
het punt te verschuiven naar een hoekpunt.
Omgekeerd geldt eveneens dat wanneer de afstanden tot de zijden van een driehoek optellen tot een som
die constant is, onafhankelijk van het gekozen punt binnen de driehoek, dan is deze gelijkzijdig.
De stelling is eenvoudig aan te tonen met behulp van de volgende voorstelling:
Een formeler bewijs volgt door de gelijkzijdige driehoek ∆ABC met hoogte h en zijde z op te delen.
Noem P het punt binnenin, da de afstand ervan tot de zijde a (tegenover A) en analoog voor de andere
zijden. Beschouw dan de driehoeken ∆PBC, ∆APC, ∆ABP. Omdat de oppervlakte van ∆ABC gelijk
is aan die van de drie driehoeken in deze dissectie samen, volgt eenvoudig:
Oftewel:
167 Driehoek van Calabi
1 1
zh =
2 2 zpa + 1
2 zpb + 1
2 zpc
h = pa +pb +pc
Beschouw het grootst mogelijke vierkant ingeschreven in een willekeurige driehoek. Alle vier de hoekpunten
zullen dan op de zijden van de driehoek liggen, en bij een gelijkzijdige driehoek zijn er drie zulke
grootste vierkanten (zie hieronder links). Eugenio Calabi ontdekte dat er een unieke tweede driehoek bestaat
die aan deze eigenschap voldoet, m.a.w. waarbij het grootste vierkant op drie verschillende manieren
in de driehoek gepositioneerd kan worden:
De verhouding tussen de lengtes van de basis en de opstaande zijden wordt dan gegeven door de grootste
wortel van de veelterm 2x3 −2x2 −3x+2, of voluit geschreven:
√ 3
−23+3 237i
1
3 +
3 3√ 4
109
11
+
3 3 −46+6 √ 237i