Curiosa Mathematica

168. Taximeetkunde
168 Taximeetkunde
Deze alternatieve vorm van meetkunde werd verkend door Hermann Minkowsi eind 19 de eeuw. De
klassieke Euclidische notie van afstand wordt hier vervangen door een nieuwe metriek, informeel bekend
als de Manhattanmetriek vanwege de gelijkenis met het roostervormige stratenplan van Manhattan.
De nieuwe afstand tussen twee punten is de afstand afgelegd via een pad langsheen een rooster:
Deze interpretatie werkt op discrete taximeetkunde, waarin er effectief sprake is van punten gerangschikt
in een rooster. Steeds fijnere roosters geven in het limietgeval aanleiding tot continue taximeetkunde.
Formeler wordt de Manhattanmetriek d(A,B) gedefinieerd als de som van de lengtes van de projecties
van het lijnstuk [AB] op de coördinaatassen. Voor A = (a1,a2...an) en B = (b1,b2...bn):
d(A,B) =
n
|ai −bi|
i=1
Deze nieuwe afstand heeft verrassende consequenties voor de vorm van vertrouwde meetkundige objecten
zoals cirkels. Een cirkel wordt gewoonlijk gedefinieerd als de verzameling punten waarvoor de afstand
tot een gemeenschappelijk middelpunt hetzelfde is; met de Manhattanafstand ziet een “cirkel” om de
oorsprong er als volgt uit. Alle punten op deze cirkel liggen even ver tot de oorsprong!
Bemerk dat de verhouding omtrek-diameter hier niet gelijk is aan π, maar aan 4. Hoeken liggen hier dus
in het interval [0,8[ en er is eveneens een hele alternatieve taximeetkundige goniometrie af te leiden.
Middelloodlijnen zien er nog vreemder uit. Tussen punten die op eenzelfde horizontale of verticale rechte
liggen merken we niks nieuws, maar tussen andere punten bestaat de middelloodlijn (als verzameling
van alle punten even ver gelegen van twee gegeven punten) uit drie segmenten, of bevat ze zelfs twee
kwartvlakken! De vergelijking van de middelloodlijn tussen A(a1,a2) en B(b1,b2) is in het algemeen:
|x−a1|+|y −a2| = |x−b1|+|y −b2|
110