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第 8 章 非 线 性 回 归 模 型8.1 模 型 简 介8. 1. 1 问 题 的 提 出前 面 章 节 中 曾 经 涉 及 自 变 量 和 因 变 量 间 里 曲 线 关 系 的 情 形 , 当 时 采 用 的 是 曲 线 直 线 化 的 策略 , 即 在 曲 线 关 系 比 较 简 单 时 , 可 以 进 行 变 量 变 换 将 曲 线 关 系 转 换 为 直 线 关 系 , 从 而 利 用 Linear过 程 分 析 。 但 是 , 曲 线 直 线 化 的 方 法 有 着 自 身 的 缺 陷 , 下 面 这 些 问 题 它 就 无 法 解 决 : 变 量 变 换 可 以 解 决 一 部 分 曲 线 拟 合 的 问 题 , 但 是 直 线 回 归 采 用 的 是 最 小 二 乘 法 , 它 保 证的 是 变 换 后 的 残 差 平 方 和 最 小 , 如 果 变 换 回 原 始 数 值 , 则 并 不 一 定 是 最 优 方 程 。 当 曲 线 关 系 极 为 复 杂 , 甚 至 不 存 在 显 示 表 达 式 时 , 往 往 是 不 可 能 通 过 变 量 变 换 转 换 为 直线 方 程 的 , 此 时 线 性 回 归 将 爱 莫 能 助 。 曲 线 直 线 化 后 仍 然 是 采 用 最 小 二 乘 法 加 以 拟 合 , 对 于 更 复 杂 的 拟 和 方 式 无 法 实 现 , 如 最小 一 乘 法 、 复 杂 的 加 权 方 法 等 。显 然 , 在 这 些 情 况 下 , 需 要 寻 求 更 强 的 分 析 方 法 。 非 线 性 回 归 就 是 针 对 以 上 更 复 杂 的 问 题 而提 出 的 一 个 通 用 的 模 型 框 架 , 它 采 用 迭 代 方 法 对 用 户 设 置 的 各 种 复 杂 曲 线 模 型 进 行 拟 合 , 同 时 将残 差 的 定 义 从 最 小 二 乘 法 向 外 大 大 扩 展 , 为 用 户 提 供 了 极 为 强 大 的 分 析 能 力 。8. 1. 2 模 型 入 门非 线 性 回 归 模 型 一 般 可 以 表 示 为 如 下 形 式 :Yi 夕 + e i = fCχ , θ) + e i其 中 fCx , θ) 为 期 望 函 数 , 该 模 型 的 结 构 和 线 性 回 归 模 型 非 常 相 似 , 所 不 同 的 是 期 望 函 数fCx , θ) 可 能 为 任 意 形 式 , 在 有 的 情 况 下 甚 至 于 可 以 没 有 显 式 表 达 式 。许 多 较 为 简 单 的 非 线 性 模 型 可 以 通 过 变 量 变 换 转 化 为 线 性 模 型 , 它 们 又 被 称 为 可 变 换 为 线性 的 模 型 。 在 非 线 性 回 归 中 , 可 变 换 为 线 性 的 模 型 有 许 多 优 点 , 诸 如 易 于 求 得 某 些 参 数 的 初 始 值等 。 如 果 采 用 将 它 们 变 换 为 线 性 模 型 , 然 后 进 行 估 计 的 策 略 , 则 就 是 前 面 己 经 学 习 过 的 曲 线 回归 。 然 而 , 必 须 指 出 , 数 据 的 变 换 会 导 致 随 机 误 差 项 分 布 的 变 换 , 认 清 这 点 非 常 重 要 , 因 为 这 将 影响 到 最 小 二 乘 法 所 求 得 的 解 的 含 义 , 以 及 模 型 的 适 用 条 件 。 如 果 假 定 变 换 前 模 型 的 误 差 项 服 从正 态 分 布 , 则 对 于 变 换 后 的 数 据 来 说 , 其 相 应 的 误 差 项 很 可 能 就 不 再 服 从 这 一 { 固 定 , 反 之 亦 然 , 不仅 是 正 态 性 , 包 括 方 差 齐 性 、 独 立 性 可 能 都 会 出 现 这 种 问 题 。 因 此 , 变 换 后 的 线 性 模 型 采 用 最 小• 149 •