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基 本 需 要 。 实 际 上 , 统 计 学 家 们 最 早 也 在 朝 这 一 方 向 努 力 , 并 考 虑 到 最 小 二 乘 法 拟 合 时 遇 到 的 各种 问 题 , 对 计 算 方 法 进 行 了 改 进 , 最 终 提 出 了 加 权 最 小 二 乘 法 ( 参 见 本 书 第 6 章 ) 来 对 该 模 型 进行 拟 合 , 至 今 这 种 分 析 思 路 还 偶 有 应 用 。既 然 可 以 使 用 加 权 最 小 二 乘 法 对 模 型 加 以 估 计 , 为 什 么 现 在 又 放 弃 了 这 种 做 法 呢 ? 原 因 在于 有 以 下 两 个 问 题 是 这 种 分 析 思 路 所 无 法 解 决 的 :(1) 取 值 区 问 : 上 述 模 型 右 侧 的 取 值 范 围 , 或 者 说 应 用 上 述 模 型 进 行 预 报 的 范 围 为 整 个 实 数集 ( 一 ∞, +∞) , 而 模 型 左 边 的 取 值 范 围 为 O~P~ l, 二 者 并 不 相 符 。 模 型 本 身 不 能 保 证 在 自 变量 的 各 种 组 合 下 , 因 变 量 的 估 计 值 仍 限 制 在 o ~ 1 内 , 因 此 可 能 分 析 者 会 得 到 这 种 荒 唐 的 结 论 : 男性 、 30 岁 、 病 情 较 轻 的 患 者 被 治 愈 的 概 率 是 300% ! 研 究 者 当 然 可 以 将 此 结 果 等 价 于 100% 可 以治 愈 , 但 是 从 数 理 统 计 的 角 度 讲 , 这 种 模 型 显 然 是 极 不 严 谨 的 。(2) 曲 线 关 联 : 根 据 大 量 的 观 察 , 反 应 变 量 P 与 自 变 量 的 关 系 通 常 不 是 直 线 关 系 , 而 是 S 型曲 线 关 系 。 这 里 以 收 入 水 平 和 购 车 概 率 的 关 系 来 加 以 说 明 , 当 收 入 非 常 低 时 , 收 入 的 增 加 对 购 买概 率 影 响 很 小 ; 但 是 在 收 入 达 到 某 一 阔 值 时 , 购 买 概 率 会 随 着 收 入 的 增 加 而 迅 速 增 加 ; 在 购 买 概率 达 到 一 定 水 平 , 绝 大 部 分 在 该 收 入 水 平 的 人 都 会 购 车 时 , 收 入 增 加 的 影 响 又 会 逐 渐 减 弱 。 如 果用 图 形 来 表 示 , 则 如 图 9. 1 所 示 。 显 然 , 线 性 关 联 是 线 性 回 归 中 至 关 重 要 的 一 个 前 提 假 设 , 而 在上 述 模 型 中 这 一 假 设 是 明 显 无 法 满 足 的 。1.00 ..., P0.750.25o ov 。υ v图 9.1 反 应 变 量 P 与 白 变 量 呈 S 型 曲 线 示 意 图以 上 问 题 促 使 统 计 学 家 们 不 得 不 寻 求 新 的 解 决 思 路 , 如 同 本 书 第 6章 中 介 绍 的 , 在 曲 线 回 归中 , 往 往 采 用 变 量 变 换 , 使 得 曲 线 直 线 化 , 然 后 再 进 行 直 线 回 归 方 程 的 拟 合 。 那 么 , 能 否 考 虑 对 所预 测 的 因 变 量 加 以 变 换 , 以 使 得 以 上 矛 盾 得 以 解 决 ? 基 于 这 一 思 想 , 又 有 一 大 批 统 计 学 家 很 兴 奋的 在 寻 找 合 适 的 变 换 函 数 。 终 于 , 在 1970 年 , Cox 引 入 了 以 前 用 于 人 口 学 领 域 的 Logit 变 换(Logit Transfo 口 nation) , 成 功 地 解 决 了 上 述 问 题 。那 么 , 什 么 是 Logit 变 换 呢 ? 通 常 把 出 现 某 种 结 果 的 概 率 与 不 出 现 的 概 率 之 比 称 为 比 值P TÎ-.---. ---I---f-.._ r \ll:t. P(odds , 国 内 也 译 为 优 势 、 比 数 ) , 即 odds =~, 1 - P' 取 其 对 数 λ= ln (odds) = ln 。 这 就 是 logit 变V' /. '/Y" • --- --- 1 _ P 口换 。 下 面 来 看 一 下 该 变 换 是 如 何 解 决 上 述 两 个 问 题 的 , 首 先 是 因 变 量 取 值 区 间 的 变 化 , 概 率 是 以• 164 •