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第 14章 典 型 相 关 分 析在 一 元 统 计 分 析 中 , 研 究 两 个 随 机 变 量 之 间 的 线 性 相 关 关 系 , 可 以 用 简 单 相 关 系 数 ; 研 究 一个 随 机 变 量 与 多 个 随 机 变 量 之 间 的 线 性 相 关 关 系 , 可 用 复 相 关 系 数 。 但 如 果 要 研 究 两 组 变 量 的相 关 关 系 时 , 这 些 统 计 方 法 就 无 能 为 力 了 。 在 现 实 生 活 中 , 两 组 变 量 之 间 具 有 相 关 关 系 的 问 题 很多 , 例 如 投 资 性 变 量 ( 如 劳 动 者 人 数 、 货 物 周 转 量 、 生 产 建 设 投 资 等 ) 与 国 民 收 入 变 量 ( 如 工 农 业国 内 收 入 、 运 输 业 国 内 收 入 、 建 筑 业 国 内 收 入 等 ) 具 有 相 关 关 系 ; 运 动 员 的 体 力 测 试 指 标 ( 如 反 复横 向 跳 、 纵 跳 、 背 力 、 握 力 等 ) 与 运 动 能 力 测 试 指 标 ( 如 耐 力 跑 、 跳 远 、 投 球 等 ) 之 间 具 有 相 关 关 系坐寸1936 年 Hotelling 首 先 提 出 了 典 型 相 关 分 析 法 , 用 于 研 究 一 组 随 机 变 量 与 另 一 组 随 机 变 量 之间 的 相 关 关 系 。 它 借 用 了 主 成 分 分 析 的 思 想 , 根 据 变 量 间 的 相 关 关 系 , 寻 找 一 个 或 少 数 几 个 综 合变 量 ( 实 际 观 察 变 量 的 线 性 组 合 ) 对 来 替 代 原 变 量 , 从 而 将 二 组 变 量 的 关 系 集 中 到 少 数 几 对 综 合变 量 的 关 系 上 。14. 1 方 法 介 绍14. 1. 1 典 型 相 关 分 析 的 基 本 思 想典 型 相 关 分 析 就 是 研 究 两 组 变 量 之 间 相 关 关 系 的 一 种 多 元 统 计 分 析 方 法 , 设 两 组 变 量 用X]' 皂 ,… , Xp 及 Y]' 飞 ,… , Yq 表 示 , 要 研 究 两 组 变 量 的 相 关 关 系 , 一 种 方 法 是 分 别 研 究 X i 与 毛 (i =1, 2 ,… ,p;j = 1 , 2 ,… , q) 之 间 的 相 关 关 系 , 然 后 列 出 相 关 系 数 表 进 行 分 析 , 当 两 组 变 量 较 多 时 , 这种 做 法 不 仅 烦 琐 , 也 不 易 抓 住 问 题 的 实 际 ; 另 一 种 方 法 是 采 用 类 似 于 主 成 分 分 析 的 做 法 , 在 每 一组 变 量 中 都 选 择 若 干 个 有 代 表 性 的 综 合 指 标 ( 变 量 的 线 性 组 合 ) , 通 过 研 究 两 组 综 合 指 标 之 间 的关 系 来 反 映 两 组 变 量 之 间 的 相 关 关 系 。 怎 样 寻 找 综 合 指 标 , 使 它 们 之 间 具 有 最 大 的 相 关 性 , 这 就是 典 型 相 关 分 析 问 题 。典 型 相 关 分 析 首 先 在 每 组 变 量 中 找 出 变 量 的 线 性 组 合 , 使 其 具 有 最 大 相 关 性 , 然 后 再 在 每 组变 量 中 找 出 第 二 对 线 性 组 合 , 使 其 与 第 一 对 线 性 组 合 不 相 关 , 而 第 二 对 本 身 具 有 最 大 相 关 性 , 如此 继 续 下 去 , 直 到 两 组 变 量 之 间 的 相 关 性 被 提 取 完 毕 为 止 。 这 些 综 合 变 量 被 称 为 典 型 变 量 , 或 典则 变 量 , 第 I 对 典 型 变 量 间 的 相 关 系 数 则 被 称 为 第 I 典 型 相 关 系 数 。 一 般 来 说 , 只 需 要 提 取 1 ~ 2对 典 型 变 量 即 可 较 为 充 分 的 概 括 样 本 信 息 。设 两 组 变 量 用 X= (X]' 皂 ,…, XJP 及 Y= (Y]' 飞 ,…, 飞 ) I 表 示 ( 设 p~q) 。 设 p + q 维 随 机• 278 •