Die Dienstleistungsnachfrage im Freizeitsektor - eSport

2. Neoklassiche Nachfragetheorie 16
(1) Herleitung der Hicks’schen Nachfragefunktion aus der Kostenfunktion 29
0
Gegeben seien ein willkürlich gewählter Preisvektor ( P ), ein Nutzenniveau (U)
0
und der zugehörige Vektor der optimalen Güternachfragemengen ( X ). Dann
lässt sich für jeden beliebigen anderen Preisvektor (P ) folgende Funktion definieren:
n
∑
i= 1
i
(o)
i
(2.15)
Z(P) = p x −c(P,U)
0
Da ( X ) nicht notwendigerweise auch den Vektor der optimalen Güternachfragemengen
für den Preisvektor (P ) darstellt, sind die Kosten für die Güternachfra-
0
gemengen ( X ) bei (P ) mindestens so groß wie die Kosten für den optimalen
Vektor der Gütermengennachfrage (letztere Kosten werden durch die Kostenfunk-
0
tion [c(P,U)] beschrieben). Damit gilt: Z(P) ≥ 0 . Z(P) ist für P = P minimal, da in
0
diesem Fall der Gütermengenvektor ( X ) optimal ist. Durch Einsetzten von
0
( P = P ) in (2.15), Ableiten und Null setzen folgt:
∂Z(P ) ∂c(P
,U)
= x − = 0 für alle i=1,2,...,n
∂p ∂p
o 0
0
i
i i
(2.16)
Durch Umformen und Verallgemeinerung von (2.16) lässt sich folgender Zusammenhang
zwischen der Kostenfunktion und der Güternachfrage herstellen:
∂c(P,U)
x = ≡ h (p ,p ,...,p ,U) = x für alle i = 1,2,...,n
i i 1 2 n i
∂pi
(2.17)
Die partiellen Ableitungen der Kostenfunktion nach den jeweiligen Preisen ergeben
demnach die Hicks’schen Nachfragefunktionen. Diese hergeleitete Eigenschaft
wird auch als Shephards Lemma30 bezeichnet.
(2) Herleitung der Marshall’schen Nachfragefunktion aus der Kostenfunktion 31
Durch Auflösen der Kostenfunktion [ c(p,U)] nach dem Nutzen (U) erhält man die
indirekte Nutzenfunktion [ V = v(p,W) ] mit [ W = C = c(p,U) ]. Unter Verwendung
der Kettenregeln wird die indirekte Nutzenfunktion bei konstantem Nutzenniveau
nach den Preisen ( p i ) der Güter abgeleitet:
29 Die Herleitung erfolgt in Anlehnung an Deaton und Muellbauer (1999, 40).
30 Hergeleitet von Ronald W. Shephard (1953).
31 Die Herleitung erfolgt in Anlehnung an Missong (2004, 211 f.).