Ökobilanz Mohndruck - und Umweltmanagement

⎡C⎤
⎢
⎣D⎦
T
⎥ = T T [ C D ]
, und
Setzt man X := PT = C
T
⎡
A T X = R,
⎤
⎢
⎣D
⎥
⎦
⎡ I
⎢
⎣B
⎤
⎦
T
⎥ = [ IB ] T
⎡ I
und R := ⎢
⎣B
⎤
⎥
⎦
, .
T
Ökobilanzen mit ECOINVENT 89
, so erhält man
was ein lineares Gleichungssystem darstellt. Die ursprüngliche Aufgabe der Berechnung
dieser Matrizen C und D hat sich somit auf das Lösen eines einzigen
linearen Gleichungssystems mit mehreren rechten Seiten reduziert.
In der numerischen Mathematik werden häufig sogenannte direkte Methoden
zur Lösung von linearen Gleichungssystemen eingesetzt. Implementationen dieser
Algorithmen sind in vielen öffentlich zugängliche Programmbibliotheken verfügbar.
Diese Methoden basieren auf der klassischen Gauß-Elimination und
werden mittels der LU-Zerlegung (Golub et al., 1991) effizient durchgeführt:
1. Faktorisiere AT in eine links untere Dreiecksmatrix, L, und eine rechts obere
Dreiecksmatrix, U, so daß
A T = LU
2. Löse
LY = R
mittels Vorwärtseinsetzen für Y.
3. Löse
UX = Y
mittels Rückwärtseinsetzen für X.
Dabei ist es wichtig, daß die Faktorisierung in Schritt 1 mittels einer sogenannten
partiellen Pivotstrategie durchgeführt wird, um die numerische Stabilität
zu gewährleisten. Für die Stabilität ist es manchmal auch zweckmäßig, die Zeilen
und Spalten der Systemmatrix so zu skalieren, daß die neuen Elemente alle etwa
die gleiche Größenordnung erhalten. Der Rechenaufwand des oben beschriebenen
Algorithmus ist natürlich von der Struktur der Systemmatrix abhängig. Wenn A
vollbesetzt ist, dann ist einerseits der Berechnungsaufwand der LU-Zerlegung
proportional zu m 3 , O(m 3 ), und das Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen anderseits
proportional zu m 2 , O(m 2 ), wo m die Dimension von A ist. Da für LCA-Probleme
die Systemmatrix häufig aber schwach besetzt ist, kann eine deutliche Reduktion
des Rechenaufwandes erreicht werden durch Verwendung von Umnumerierungs-
und Eliminationsstrategien die diese spezielle Struktur berücksichtigen und
ausnützen.
Unter Verwendung von partiellem Pivotieren und evtl. auch einer Umskalierung
der Systemmatrix, wie sie oben diskutiert ist, ist die algorithmische Stabilität