Ökobilanz Mohndruck - und Umweltmanagement

90 Rolf Frischknecht und Petter Kolm
garantiert. Diese Anforderungen werden von modernen, numerischen Programmbibliotheken
gewährleistet. Bei numerischen Berechnungen muß man aber
auch den Einfluß der Rundungs- und Meßfehler der Eingabedaten, hier A und R,
analysieren, um die Genauigkeit der Lösung zu bestimmen. Falls X die exakte
Lösung und � X die durch den Algorithmus berechnete Lösung sind, dann ist der
relative Fehler der Lösung proportional zur Kondition der Systemmatrix,
|| � X − X||
|| X||
∞
∞
≈ uκ ( A)
,
∞
wo u der Rundungsfehler in A und R ist; d.h., falls die Daten in A und R auf vier
signifikante Ziffern gerundet sind, dann ist u=10-4 −1
. κ ( A) ∞: = || A|| ∞||
A || ∞ bezeichnet
hier die Konditionszahl von A in der Maximumnorm. Da der relative
Fehler viel kleiner als eins sein soll, erhält man folgende, einfache Daumenregel:
Falls die Kondition der Systemmatrix etwa 10 q ist und die Eingabedaten zu d signifikanten
Ziffern gegeben sind, dann liefert der obige Lösungsalgorithmus eine
Lösung die etwa d-q signifikante Ziffern hat. Mit anderen Worten kann unter
gewisse Umständen die 'Lösung' vollständig falsch sein! Es ist deswegen zu empfehlen,
daß die Genauigkeit der Rechnung des Lösungsalgorithmus` mindestens
durch obige Schätzung kontrolliert wird.
Eine allgemeine Möglichkeit die Genauigkeit der berechneten und approximierten
Lösung zu verbessern, besteht in der sogenannten iterativen Verbesserung
durch Anwenden der vorhandenen LU-Zerlegung. Dabei wird das Residuum,
� T
R: = R − A X , in doppelter Rechengenauigkeit bestimmt, wonach die Schritte 2
und 3 mittels � R statt R wiederholt werden. Dadurch erhält man die Korrektur
1 1 �
Z = U L R
− −
und nach einer Addition die verbesserte Lösung, X+Z. Dabei werden die Anzahl
der signifikanten Ziffern etwa verdoppelt wobei der Rechenaufwand proportional
zu m 2 , O(m 2 ) steigt.
Für den Software-Cluster ECOINVENT ist der oben beschriebene Algorithmus
mittels Matlab realisiert worden. Matlab bietet dabei durch eine mathematische
Subroutinenbibliothek und eine übersichtliche Programmierumgebung gute
Flexibilität und einfache Möglichkeiten zur Implementation und Weiterentwicklung.
Durch die Matlabschnittstelle werden auch Vor- und Nachbearbeitungen der
Daten unterstützt und effizient durchgeführt, wie Abb. 2 zeigt. Durch die
Optimierung des Lösungsalgorithmus` in ECOINVENT hat man erreicht, daß die
Berechnung der Ökoinventare und Wirkungsbilanzen von etwa 500 Teilprozesse
innerhalb von 2 Minuten durchgeführt sind, wogegen andere Systeme in dieser
Zeit nur einzelne Prozesse behandeln können.