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100 6 Eigenwertprobleme7. C sei eine reelle n × n-Matrix undf (x) := x T Cxx T xfür x ∈ R n , x ≠ 0.Man zeige: f ist stationär an der Stelle ˜x ≠ 0 genau dann, wenn ˜x Eigenvektorvon 1 2 (C + C T ) mit f (˜x) als zugehörigem Eigenwert ist.8. Man zeige:a) Ist A normal mit den Eigenwerten λ i , |λ 1 |≥···≥|λ n |, und den singulärenWerten σ i so giltσ i =|λ i |,lub 2 (A) =|λ 1 |=ρ(A),i = 1,...,n,cond 2 (A) = |λ 1||λ n | = ρ(A)ρ(A−1 ) (falls A −1 existiert).b) Für jede n × n-Matrix A gilt(lub 2 (A)) 2= lub2 (A H A).9. Man zeige: Ist A eine normale n × n-Matrix mit den Eigenwerten λ i ,|λ 1 |≥···≥|λ n |,und sind U, V unitär, so gilt für die Eigenwerte µ i von UAV|λ 1 |≥|µ i |≥|λ n |.10. B sei eine n × m-Matrix. Man beweise:[ ]In BM =positiv definit ⇐⇒ ρ(B H B)