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7.3 Randwertprobleme 225die Rolle der Gleichung r ν,µ (...) = 0 in (7.3.8.4). In vielen Anwendungen besitztp die Form p(y, s) = φ(y) − s [vgl. Abschnitt 7.2.18].Voraussetzung (A) erlaubt die Anwendung des Satzes über impliziteFunktionen. Sie garantiert, daß der Mikropunkt ˆx und der Startwert ŝ lokaleindeutige Lösungen glatter Gleichungen sind, die überdies glatt von s 1abhängen, ˆx =ˆx(s 1 ), ŝ =ŝ(s 1 ). Dies wird im Beweis des folgenden Satzesverwandt:(7.3.8.9) Satz: Sei ˆx ein Mikropunkt und Voraussetzung (A) erfüllt. Dannkann die Sensitivitätsmatrix ∂y(x 2 ;ˆx(s 1 ), ŝ(s 1 ))/∂s 1 mittels der Formel∂y(x 2 ;ˆx(s 1 ), ŝ(s 1 ))∂s 1=( ∂p− G 2 (x 2 ;ˆx, ŝ)∂ŝ[+ G 2 (x 2 ;ˆx, ŝ)) −1∂p∂y G 1(ˆx; x 1 , s 1 )f 2 (ˆx, ŝ) +( ) ]∂p−1∂p∂ŝ ∂y f 1(ˆx, y(ˆx))berechnet werden, in der folgende Abkürzungen verwandt werden∂p∂y=∂p(y, ŝ)∂y∣ ,y=y(ˆx − )∂p∂ŝ=∂p(y, ŝ)∂ŝL(.) := L(ˆx, x 1 , s 1 ) := ( Q(ˆx, y(ˆx)) ) −1 ∂q(ˆx, y)∂y∣ ,y=y(ˆx − )· L(.)∣ G 1(ˆx; x 1 , s 1 ).y=y(ˆx − )Beweis: Unter der Voraussetzung (A) genügen ˆx und ŝ den Gleichungenq(ˆx, y(ˆx; x 1 , s 1 )) = 0, p(y(ˆx − ; x 1 , s 1 ), ŝ) = 0, so daß sie insbesondere alsFunktionen von s 1 angesehen werden können (ihre Abhängigkeit von x 1spielt im folgenden keine Rolle) ˆx =ˆx(s 1 ), ŝ =ŝ(s 1 ). Durch Differentiationder Identität q(ˆx(s 1 ), y(ˆx(s 1 ); x 1 , s 1 )) ≡ 0 erhält man so mit Hilfe des Satzesüber implizite Funktionen( )∂ ˆx ∂q(ˆx, y(ˆx; x1 , s 1 )) −1∂q(ˆx, y(ˆx; x 1 , s 1 ))=−∂s 1 ∂ ˆx∂s 1−1∂q(ˆx, y)=−Q(ˆx, y(ˆx)) ∣∂yG 1(ˆx; x 1 , s 1 ).y=y(ˆx − )Analog erhält man aus der Gleichung p(y, ŝ) = 0, die ŝ als Funktion vony definiert,