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320 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeDieses Verfahren kann auch verwandt werden, um lineare GleichungenBx = c mit einer quadratischen nichtsymmetrischen Matrix B zu lösen.In diesem Fall ist es aber besser, zur Lösung solcher Systeme eines derVerfahren GMRES, QMR, Bi-CGSTAB zu verwenden, die in den folgendenAbschnitten 8.7.2–8.7.4 beschrieben werden.Numerische Beispiele, in denen das vorkonditionierte cg-Verfahren(8.7.1.10) mit dem ursprünglichen Verfahren (8.7.1.3) verglichen wird, werdenin Abschnitt 8.10 angegeben.8.7.2 Der GMRES-AlgorithmusWir betrachten nun GleichungssystemeAx = bmit einer reellen, evtl. auch nichtsymmetrischen, aber nichtsingulären n×n-MatrixA und der Lösung ¯x = A −1 b. Die verschiedenen Bemühungen, cg-artigeVerfahren zur Lösung solcher nicht positiv definiter Systeme zu entwickeln,führten unter anderem zu dem GMRES-Verfahren (generalized minimumresidual method, siehe Saad und Schultz (1986)). Es handelt sich um eineKrylovraum-Methode, in der zu einem Startvektor x 0 ≠¯x mit dem Residuumr 0 := b − Ax 0 ≠ 0 iterativ weitere Näherungslösungen x k für dieLösung ¯x mit folgenden Eigenschaften erzeugt werden:(8.7.2.1)x k ∈ x 0 + K k (r 0 , A),‖b − Ax k ‖ 2 = min{‖b − Au‖ 2 | u ∈ x 0 + K k (r 0 , A)}.Ein wichtiges Hilfsmittel dazu ist die Kenntnis geeigneter orthonormalerBasen der Krylovräume K k (r 0 , A), k ≥ 1. Wegen r 0 ≠ 0 gilt nach Definitionvon K k (r 0 , A) = span[r 0 , Ar 0 , ···, A k−1 r 0 ]1 ≤ dim K k (r 0 , A) ≤ k,so daß es einen größten Index m mit 1 ≤ m ≤ n gibt mitdim K k (r 0 , A) = k für alle 1 ≤ k ≤ m.Gleichzeitig ist m die kleinste natürliche Zahl, für die der KrylovraumK m (r 0 , A) ein A-invarianter Teilraum ist, d.h.(8.7.2.2) AK m (r 0 , A) :={Ax | x ∈ K m (r 0 , A)}⊂K m (r 0 , A).Denn die A-Invarianz von K m (r 0 , A) = span[r 0 , Ar 0 , ···, A m−1 r 0 ] ist mitA m r 0 ∈ K m (r 0 , A)