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56 6 Eigenwertprobleme6.6.4 Das LR- und das QR-VerfahrenDas LR-Verfahren von Rutishauser (1958) und das QR-Verfahren vonFrancis (1961/62) und Kublanovskaja (1961) sind ebenfalls Iterationsverfahrenzur Bestimmung der Eigenwerte einer n × n-Matrix A. Es soll zunächstdas historische frühere LR-Verfahren erklärt werden. Hier bildet man ausgehendvon A 1 := A eine Folge von Matrizen A i nach folgender Vorschrift:Man stellt mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens (s. Abschnitt4.1) die Matrix A i als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L i = (l jk ) mitl jj = 1 und einer oberen Dreiecksmatrix R i dar:⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 ∗ ··· ∗(6.6.4.1) A i =: L i R i , L i = ⎣.. .. ⎦ , R i = ⎣ . .. .⎦ .∗ ··· 10 ∗Anschließend bildet manA i+1 := R i L i =: L i+1 R i+1 , i = 1, 2,... .Aus Abschnitt 4.1 wissen wir, daß für eine beliebige Matrix A i eine solcheZerlegung A i = L i R i nicht immer möglich ist, was die Voraussetzung desfolgenden Satzes erklärt:(6.6.4.2) Satz: Sofern alle Zerlegungen A i = L i R i existieren, gilt(a) A i+1 ist ähnlich zu A i :A i+1 = L −1iA i L i , i = 1, 2,...(b) A i+1 = (L 1 L 2 ···L i ) −1 A 1 (L 1 L 2 ···L i ), i = 1, 2, ...(c) Die untere Dreiecksmatrix T i := L 1 ···L i und die obere DreiecksmatrixU i := R i ···R 1 liefern die LR-Zerlegung von A i ,A i = A i 1 = T iU i , i = 1, 2,... .Beweis: (a) Wegen A i = L i R i hat manL −1iA i L i = R i L i =: A i+1 .(b) folgt sofort aus (a). Um (c) zu zeigen, gehen wir aus vonL 1 ···L i A i+1 = A 1 L 1 ···L i , i = 1, 2,... ,einer Folge von (b). Es ist also für i = 1, 2, ...