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60 6 Eigenwertproblemee 1 = ρ 1 x 1 +···ρ n x n , ρ i = y T i e 1 = y i1 ,ρ 1 = y 11 ≠ 0 gilt, konvergiert die Vektoriteration t k := A k e 1 :(6.6.4.9) limk→∞Andererseits gilt wegen (6.6.4.7)1t k = ρ 1 x 1 .λ k 1A i e 1 = r (1)11 r(2) 11 ···r(i) 11 p i.Wegen ‖p i ‖=1 gibt es Phasenfaktoren σ k = e iφ k, |σ k |=1, mitlim σ i p i =ˆx 1 , lim r (i) σ i−111= λ 1 , mit ˆx 1 := x 1 /‖x 1 ‖.i σ iDie r (i)11 , p i konvergieren also „im wesentlichen“ (d. h. bis auf einen Phasenfaktor)gegen λ 1 bzw. ˆx 1 . Nach Abschnitt 6.6.3 wird die Konvergenzgeschwindigkeitdurch den Faktor |λ 2 /λ 1 | < 1 bestimmt,∣∥ ∥ ∣∣∣(6.6.4.10) ∥σ i p i −ˆx 1 λ 2 ∣∣∣ i)= O(∣.λ 1Mit Hilfe von (6.6.4.10) überlegt man sich leicht, daß aus A i+1 = PiH AP i(Satz (6.6.4.4), (a)) und der wesentlichen Konvergenz der ersten Spalte vonP i gegen einen Eigenvektor ˆx 1 von A zum Eigenwert λ 1 auch die Konvergenzder ersten Spalte A i e 1 von A i gegen den Vektor λ 1 e 1 = (λ 1 , 0....,0) Tfolgt, wobei der Fehler ‖A i e 1 − λ 1 e 1 ‖=O((|λ 2 |/|λ 1 ) i ) umso schneller gegen0 konvergiert, je kleiner |λ 2 /λ 1 | ist. Zum Nachweis der Konvergenzhaben wir die Bedingung ρ 1 = y 11 ≠ 0 verwandt. Für das folgende notierenwir, daß diese Bedingung insbesondere dann erfüllt ist, wenn die Matrix Yeine Dreieckszerlegung Y = L Y R Y mit einer unteren Dreiecksmatrix L Ymit (L Y ) jj = 1 und einer oberen Dreiecksmatrix R Y besitzt.Es wird sich später als besonders wichtig herausstellen, daß das QR-Verfahren für nichtsinguläres A auch mit der inversen Vektoriteration(s. 6.6.3) verwandt ist. Aus (6.6.4.5) folgt nämlich wegen PiH P i = I sofortPi−1 H A−1 = R −1 oderiP HiA −H P i−1 = P i R −Hi.Bezeichnet man jetzt mit ˆP (r)idie n×(n−r+1)-Matrix, die aus den n−r+1letzten Spalten von P i und mit ˆR (r)idie Dreiecksmatrix, die aus den letztenn − r + 1 Zeilen und Spalten von R i besteht, sowie mit P ˆ (r)i= R( ˆP (r)i)den Teilraum, der von den Spalten von ˆP (r)iaufgespannt wird, so folgt wieoben