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336 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssystemew T k v k+1 = 1ρ k+1[w T k Av k − α k w T k v k − β k w T k v k−1]= 1ρ k+1[w T k Av k − α k w T k v k] = 0.Für i ≤ k−1 erhält man aus der Induktionsvoraussetzung und der Definitionvon ˜w k+1 zunächstw T i v k+1 = 1ρ k+1[w T i Av k − α k w T i v k − β k w T i v k−1 ]= 1ρ k+1[w T i Av k − β k w T i v k−1 ]= 1ρ k+1[v T k ( ˜w i+1 + α i w i + ǫ i w i−1 ) − β k w T i v k−1 ]= 1ρ k+1[(σ i+1 v T k w i+1 + α i v T k w i + ǫ i v T k w i−1) − β k w T i v k−1 ].Die Induktionsvoraussetzung liefert dann w T iv k+1 = 0für i < k − 1, undfür i = k − 1 wegen der Definition von β kw T i v k+1 = w T k−1 v k+1= 1ρ k+1[(σ k v T k w k + 0 + 0) − β k w T k−1 v k−1]= 1ρ k+1[(σ k δ k − β k δ k−1 )] = 0.Auf die gleiche Weise zeigt man v T iw k+1 = 0für alle i ≤ k. Schließlich ist(8.7.3.4) mit der MatrixgleichungW T m V m = D mmit den Matrizen V k := [v 1 ,...,v k ], W k := [w 1 ,...,w k ], und den DiagonalmatrizenD k := diag (δ 1 ,...,δ k ) identisch. Da D m nichtsingulär ist,folgt aus Wm T V m = D m sofort rg V m = rg W m = m.⊓⊔Ähnlich wie bei dem Arnoldi-Verfahren kann man die Rekursionsformelnvon (8.7.3.1) mit Hilfe der Matrizen V k , W k und der Tridiagonalmatrizen⎡⎤ ⎡⎤α 1 β 2 ... 0α 1 ǫ 2 ... 0ρ 2 α.2.. .σ 2 α.2.. .¯T k :=.. .. . .. βk, ¯S k :=. . .. . .. ǫk⎢⎥ ⎢⎥⎣ .. .. ⎦ ⎣ .αk. .. αk⎦0 ... ... ρ k+1 0 ... ... σ k+1