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7.2 Anfangswertprobleme 139Für k = 1, j = 0 und q = 0, 1, 2, ...erhält man die Verfahren vonAdams-Bashforth:(7.2.6.5)η p+1 = η p + h[β q0 f p + β q1 f p−1 +···+β qq f p−q ]∫ 1 q∏ s + lmit β qi :=ds, i = 0, 1,...,q.−i + l0l=0l≠iEin Vergleich mit (7.2.6.1) zeigt, daß hier r = q+1 ist. Einige Zahlenwerte:β qi i = 0 1 2 3 4β 0i 12β 1i 3 −112β 2i 23 −16 524β 3i 55 −59 37 −9720β 4i 1901 −2774 2616 −1274 251Für k = 0, j = 1 und q = 0, 1, 2, ..., erhält man die Formeln vonAdams-Moulton:η p = η p−1 + h[β q0 f p + β q1 f p−1 +···+β qq f p−q ],oder, wenn man p durch p + 1 ersetzt,(7.2.6.6)η p+1 = η p + h[β q0 f (x p+1 ,η p+1 ) + β q1 f p +···+β qq f p+1−q ]∫ 0 q∏ s + lmit β qi :=−i + l ds.−1l=0l≠iAuf den ersten Blick scheint es, daß (7.2.6.6) nicht die Form (7.2.6.1) besitzt,weil η p+1 auf beiden Seiten der Gleichung in (7.2.6.6) vorkommt: (7.2.6.6)stellt bei gegebenen η p , η p−1 , ..., η p+1−q eine i.a. nichtlineare Gleichungfür η p+1 dar, das Verfahren von Adams-Moulton ist ein implizites Verfahren.Folgendes Iterationsverfahren zur Bestimmung von η p+1 liegt nahe:(7.2.6.7) η (i+1)p+1= η p + h[β q0 f (x p+1 ,η (i)p+1 ) + β q1 f p +···+β qq f p+1−q ],i = 0, 1, 2,...Die Iteration hat die Form η (i+1)p+1= Ψ(η (i)p+1) einer Fixpunktiteration: Mitden Methoden von Abschnitt 5.2 kann man leicht zeigen, daß für genügendkleines |h| die Abbildung z → Ψ(z) kontrahierend ist [s. Übungsaufgabe10] und daher einen Fixpunkt η p+1 = Ψ(η p+1 ) besitzt, der (7.2.6.6) löst.Diese Lösung η p+1 hängt natürlich von x p , η p , η p−1 , ...η p+1−q und h ab und