Springer-Lehrbuch - tiera.ru

280 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssystemenur unter weiteren Voraussetzungen über A. So gilt z. B. der folgende Satz,der ohne Beweis angeführt sei [für einen Beweis s. Varga (1962)].(8.2.14) Satz (Stein und Rosenberg): Ist die Matrix J = L + U ≥ 0 nichtnegativ,so gilt für J und H = (I − L) −1 U genau eine der folgendenBeziehungen1) ρ(H) = ρ(J) = 0,2) 0 0, a ik ≤ 0für i ≠ k. Da dieseBedingung bei vielen linearen Gleichungssystemen zutrifft, die man durchDifferenzennäherungen von linearen Differentialoperatoren erhält [vgl. z. B.Abschnitt 8.4], so gibt dieser Satz die für viele praktische Fälle wichtigeAuskunft, daß das Einzelschrittverfahren [abgesehen vom Spezialfall1) des letzten Satzes] besser als das Gesamtschrittverfahren konvergiert,wenn überhaupt eines der beiden Verfahren konvergiert.8.3 RelaxationsverfahrenDie Ergebnisse des letzten Abschnitts legen es nahe, nach einfachen MatrizenB zu suchen, für die das zugehörige Iterationsverfahren (8.1.3) evtl. nochbesser als das Einzelschrittverfahren konvergiert, ρ(I − B −1 A)