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7.2 Anfangswertprobleme 181Das Teilsystem für u ′ (x) hat die Struktur von Fall 1 und ist für beliebigeAnfangswerte y 0 eindeutig lösbar. Dies gilt nicht für das Teilsystem fürv ′ (x): Zunächst kann dieses System nur unter einer zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungfür f gelöst werden, nämlichf ∈ C k−1 [x 0 , x end ],wobei k der Index von N ist. Es gilt dannv(x) =−q(x) + Nv ′ (x)=−(q(x) + Nq ′ (x)) + N 2 v ′′ (x).=−(q(x) + Nq(x) +···+N k−1 q (k−1) (x)).Wegen N k = 0 bricht die Auflösungskette ab, und man sieht, daß v(x)allein durch q(x) und seine Ableitungen bestimmt ist. Es treten also zweigrundsätzliche Unterschiede zu (7.2.17.5) auf:(1) Der Index der Jordan-Form zu B −1 A bestimmt die erforderlicheGlattheit der rechten Seite f (x).(2) Nicht alle Komponenten des Anfangswertes y 0 sind frei wählbar:v(x 0 ) ist durch q(x), f (x) und seine Ableitungen in x = x 0 fixiert. Fürdie Lösbarkeit des Systems müssen die Anfangswerte y 0 = y(x 0 ) einezusätzliche Konsistenzbedingung erfüllen, sie müssen „konsistent“ gewähltsein. In der Praxis kann das Problem der Berechnung konsistenter Anfangswertefreilich schwierig sein.3. Fall: A und B singulär.Hier muß man die Untersuchung auf „sinnvolle“ Systeme eingrenzen.Da es Matrizen gibt [ein triviales Beispiel ist A := B := 0], für die (7.2.17.6)nicht eindeutig lösbar ist, betrachtet man nur solche Matrixpaare (A, B), diezu eindeutigen Lösungen des Anfangswertproblems führen. Es ist möglichsolche Paare mit Hilfe von regulären Matrizenbüscheln zu charakterisieren:Darunter versteht man Paare (A, B) quadratischer Matrizen, für die es einλ ∈ C gibt, so daß λA+ B eine nichtsinguläre Matrix ist. Da dann det(λA+B) ≢ 0 ein nichtverschwindendes Polynom in λ vom Grad ≤ n ist, gibtes höchstens n Zahlen λ, nämlich die Eigenwerte des verallgemeinertenEigenwertproblems [s. Abschnitt 6.8] Bx =−λAx, für die λA+ B singulärist.Für reguläre Matrizenbüschel kann man zeigen, daß das System(7.2.17.6) höchstens eine Lösung besitzt, für die es auch explizite Formelnmit Hilfe der Drazin-Inversen gibt [s. z. B. Wilkinson (1982), oder