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7.3 Randwertprobleme 189und n + 1 Randbedingungen der Form(7.3.0.3b)⎡⎤r ( y(a), y(b), λ ) = 0, r ( u,v,λ ) r 1 (u 1 ,...,u n ,v 1 ,...,v n ,λ)= ⎣.⎦r n+1 (u 1 ,...,u n ,v 1 ,...,v n ,λ)zu erfüllen sind. Das Problem (7.3.0.3) ist überbestimmt und besitzt daherbei beliebiger Wahl von λ i. a. keine Lösung y(x). Das Eigenwertproblem(7.3.0.3) besteht darin, diejenigen Zahlen λ i , die Eigenwerte von (7.3.0.3),zu bestimmen, für die (7.3.0.3) eine Lösung y(x) besitzt. Durch Einführungeiner weiteren Funktiony n+1 (x) := λund einer weiteren Differentialgleichungist (7.3.0.3) mit dem Problemy ′ n+1 (x) = 0ȳ ′ = ¯ f ( x, ȳ ) , ¯r ( ȳ(a), ȳ(b) ) = 0äquivalent, das nun die Form (7.3.0.1) besitzt. Dabei ist[ ][ ]yȳ := , f ¯ f (x, y, yn+1 )(x, ȳ) :=,y n+1 0¯r(u 1 ,...,u n , u n+1 ,v 1 ,...,v n ,v n+1 ) := r(u 1 ,...,u n ,v 1 ,...,v n ,v n+1 ).Weiter lasssen sich auchRandwertprobleme mit freiem Randauf gewöhnliche Randwertprobleme (7.3.0.1) reduzieren. Bei diesen Problemenist z. B. nur eine Randabszisse a gegeben, und es ist b (der freie Rand)so zu bestimmen, daß das System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen(7.3.0.4a) y ′ = f (x, y)eine Lösung y besitzt, die n + 1 Randbedingungen erfüllt⎡ ⎤(7.3.0.4b) r ( y(a), y(b) ) r 1 (u,v)= 0, r(u,v)= ⎣.⎦ .r n+1 (u,v)Hier führt man statt x eine neue unabhängige Variable t und eine noch zubestimmende Konstante z n+1 := b − a ein durch