Springer-Lehrbuch - tiera.ru

7.2 Anfangswertprobleme 159y(x) der Differentialgleichung mindestens p + 1 mal differenzierbar ist[ f ∈ F p (a, b)].7.2.12 Asymptotische Entwicklungen des globalenDiskretisierungsfehlers für lineare MehrschrittverfahrenWie in Abschnitt 7.2.3 kann man versuchen, auch für die Näherungslösungen,die von Mehrschrittverfahren geliefert werden, asymptotische Entwicklungennach der Schrittweite h zu finden. Dabei treten jedoch eineReihe von Schwierigkeiten auf.Zunächst hängt die Näherungslösung η(x; h) und damit auch ihre asymptotischeEntwicklung (falls sie existiert) von den benutzten Startwerten ab.Darüber hinaus muß es nicht unbedingt eine asymptotische Entwicklung derForm [vgl. (7.2.3.3)](7.2.12.1)η(x; h) =y(x) + h p e p (x) + h p+1 e p+1 (x) +···+ h N e N (x) + h N+1 E N+1 (x; h)für alle h = h n := (x − x 0 )/n geben mit von h unabhängigen Funktionene i (x) und einem Restglied E N+1 (x; h), das für jedes x in h beschränkt ist.Dies soll für ein einfaches lineares Mehrschrittverfahren, die Mittelpunktsregel(7.2.6.9), d. h.(7.2.12.2) η j+1 = η j−1 + 2hf(x j ,η j ), x j = x 0 + jh, j = 1, 2,...,gezeigt werden. Wir wollen mit dieser Methode das Anfangswertproblemy ′ =−y, x 0 = 0, y 0 = y(0) = 1,mit der exakten Lösung y(x) = e −x behandeln. Als Startwerte nehmen wirη 0 := 1, η 1 := 1 − h,[η 1 ist der durch das Eulersche Polygonzug-Verfahren (7.2.1.3.) gelieferteNäherungswert für y(x 1 ) = e −h ]. Ausgehend von diesen Startwerten istdann durch (7.2.12.2) die Folge {η j } und damit die Funktion η(x; h) für allex ∈ R h ={x j = jh| j = 0, 1, 2,...} definiert durchη(x; h) := η j = η x/h falls x = x j = jh.Nach (7.2.12.2) genügen die η j wegen f (x j ,η j ) =−η j der Differenzengleichungη j+1 + 2hη j − η j−1 = 0, j = 1, 2,... .Mit Hilfe von Satz (7.2.9.8) lassen sich die η j explizit angeben: DasPolynom