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6.3 Die Frobeniussche Normalform einer Matrix 13aufgebaut, mit deren Eigenschaften wir uns zunächst befassen wollen. Manstößt auf Matrizen dieses Typs beim Studium von Krylovsequenzen vonVektoren: Unter einer Krylovsequenz für die n×n-Matrix A zum Startvektort 0 ∈ C n versteht man eine Sequenz von Vektoren t i ∈ C n , i = 0, 1, ...,m − 1, mit der folgenden Eigenschaft:(6.3.2)a) t i = At i−1 , i ≥ 1.b) t 0 , t 1 ,...,t m−1 sind linear unabhängig.c) t m := At m−1 hängt linear von t 0 , t 1 ,...,t m−1 ab:Es gibt Konstanten γ i mitt m + γ m−1 t m−1 +···+γ 0 t 0 = 0.Die Länge m der Krylovsequenz hängt natürlich von t 0 ab. Es gilt m ≤ n,da mehr als n Vektoren im C n stets linear abhängig sind. Bildet man dien × m-Matrix T := [t 0 ,...,t m−1 ] und die Matrix F (6.3.1), so ist (6.3.2)äquivalent mit(6.3.3)Rang T = m,AT = A[t 0 ,...,t m−1 ] = [t 1 ,...,t m ] = [t 0 ,...,t m−1 ]F = TF.Jeder Eigenwert von F ist auch Eigenwert von A: Aus Fz = λz, z ≠ 0,folgt nämlich für x := Tz wegen (6.3.3)Darüber hinaus giltx ≠ 0 und Ax = AT z = TFz= λTz= λx.(6.3.4) Satz: Die Matrix F (6.3.1) ist nichtderogatorisch: Das Minimalpolynomvon F istψ(µ) = γ 0 + γ 1 µ +···+γ m−1 µ m−1 + µ m= (−1) m det (F − µI).Beweis: Entwickelt man ϕ(µ) := det (F − µI) nach der letzten Spalte, sofindet man als charakteristisches Polynom von F⎡⎤−µ 0 −γ 01 −µ −γ 1ϕ(µ) = det.⎢ .. . .. . ⎥⎣⎦1 −µ −γ m−20 1 −γ m−1 − µ= (−1) m (γ 0 + γ 1 µ +···+γ m−1 µ m−1 + µ m ).