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28 6 Eigenwertprobleme⎡⎤δ 1 ¯γ 2 0 0. γ 2 δ .. . .. 2 0. .. . .. ¯γi−1 00 γ i−1 δ i−1 ¯γ i=0 ··· 0 γ i δ i ¯γ i+1 0 ... 0=: A iγ i+10⎢⎣0. ˜T i à i−1 ˜T i⎥⎦0mit γ i+1 := k.Wegen ˜T i = I−βuu H läßt sich ˜T i à i−1 ˜T i auf folgende Weise berechnen:˜T i à i−1 ˜T i = (I − βuu H )à i−1 (I − βuu H )= à i−1 − β à i−1 uu H − βuu H à i−1 + β 2 uu H à i−1 uu H .Führt man zur Abkürzung die Vektoren p, q ∈ C n−i ein,p := β à i−1 u,q := p − β 2 (pH u)u,so folgt wegen β ≥ 0, p H u = βu H à i−1 u = (p H u) H sofort(6.5.1.4)˜T i à i−1 ˜T i = à i−1 − pu H − up H + βup H uu H[= à i−1 − u p − β H [u)u]2 (pH − p − β ]2 (pH u)u u H= à i−1 − uq H − qu H .Mit den Formeln (6.5.1.1)-(6.5.1.4) ist die i-te TransformationA i = T −1iA i−1 T ibeschrieben. Offensichtlich ist⎡⎤δ 1 ¯γ 2 0.B = A n−2 =γ 2 δ ..2 ⎢⎣. .. . ..⎥¯γn ⎦ , δ i = ¯δ i ,0 γ n δ neine Hermitesche Tridiagonalmatrix.