Springer-Lehrbuch - tiera.ru

6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 53besitzt die Eigenwerte λ 1 = η+ √ η, λ 2 = η− √ η mit den zugehörigen Eigenvektoren[ ] [ ]1x 1 = √η1, x 2 =− √ .ηA ist wegen der Kleinheit von η sehr schlecht konditioniert, λ 1 , λ 2 bilden einenHaufen von Eigenwerten, deren zugehörige Eigenvektoren x 1 , x 2 fast linear abhängigsind [z. B. besitzt die leicht abgeänderte Matrixà :=[ ] 0 1= A +△A,0 0lub ∞ (△A)lub ∞ (A)= |2η|1 +|η| = O(eps),den Eigenwert λ(Ã) = 0 mit min |λ(Ã) − λ i |≥ √ |η|−|η| ≫O(eps)]. Die Zahlλ = 0 ist numerisch akzeptabler Eigenwert von A zum Eigenvektor[ ] 1x λ = .0Es ist nämlich[ ] −η 0(A +△A − 0 · I)x λ = 0 für △ A := ,−η 0lub ∞ (△A)/ lub ∞ (A) =|η|1 +|η| ≈ O(eps).Nimmt man diesen numerisch akzeptablen Eigenvektor x λ als Startvektor t 0 für dieinverse Iteration und λ = 0 als näherungsweisen Eigenwert von A, soerhält mannach dem ersten Schrittt 1 := −1 [ ] 1.1 − η −1Der Vektor t 1 ist aber nicht mehr wie t 0 numerisch akzeptabler Eigenvektor zuλ = 0, denn jede Matrix △A mithat die Gestalt△A =[ ] α βγ δ(A +△A − 0 · I)t 1 = 0mit α = 1 + β − η, γ = δ.Für alle diese Matrizen △A ist lub ∞ (△A) ≥ 1−|η|, es gibt unter ihnen keine kleineMatrix mit lub ∞ (△A) ≈ O(eps).Dagegen liefert jeder Startvektor t 0 der Form[ ] τt 0 =1mit nicht zu großem |τ| als t 1 einen numerisch akzeptablen Eigenvektor zu λ = 0.Z. B. ist für[ ] 1t 0 =1der Vektort 1 = 1 η[ 10]numerisch akzeptabel, wie eben gezeigt wurde.