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8.6 Das ADI-Verfahren von Peaceman-Rachford 303Durch Diskussion dieses Ausdrucks findet man schließlich [s. Übungsaufgabe20]cos 2 πN + 1min ρ(T r ) = ρ ( H(ω b ) ) =r>0(1 + sinπN + 1wo ω b zu dem optimalen (gewöhnlichen) Relaxationsverfahren gehört [vgl.(8.4.7)]. Mit anderen Worten: das beste ADI-Verfahren, konstante Parameterwahlvorausgesetzt, besitzt für das Modellproblem dieselbe Konvergenzgeschwindigkeitwie das optimale gewöhnliche Relaxationsverfahren. Dader einzelne Iterationsschritt des ADI-Verfahrens ungleich aufwendiger istals bei dem Relaxationsverfahren, scheint das ADI- Verfahren unterlegen zusein. Dies ist sicher richtig, falls man für alle Iterationsschritte die gleichenParameter r = r 1 = r 2 =··· wählt. Wenn man jedoch von der zusätzlichenWahlmöglichkeit Gebrauch macht, in jedem Schritt einen eigenen Parameterr i zu wählen, ändert sich das Bild zugunsten der ADI-Verfahren. Für dasModellproblem kann man z. B. so argumentieren: Die Vektoren z (k,l) sindEigenvektoren von T r für beliebiges r mit zugehörigem Eigenwert µ (k,l)(8.6.12), also sind sie auch Eigenvektoren von T ri ···T r1 (8.6.8):zum EigenwertT ri ···T r1 z (k,l) = µ (k,l)r i ,...,r 1z (k,l)µ (k,l)r i ,...,r 1:=i∏j=1(r j − µ l )(r j − µ k )(r j + µ l )(r j + µ k ) .Wählt man r j := µ j , j = 1, 2, ..., N, so folgtµ (k,l)r N ,...,r 1= 0 für alle 1 ≤ k, l ≤ N,so daß wegen der linearen Unabhängigkeit der z (k,l)T rN ···T r1 = 0.Bei dieser speziellen Wahl der r j bricht das ADI-Verfahren für das Modellproblemnach N Schritten mit der exakten Lösung ab. Dies ist natürlichein besonderer Glücksfall, der auf folgenden wesentlichen Voraussetzungenberuht:1) H 1 und V 1 besitzen einen Satz von gemeinsamen Eigenvektoren, dieden gesamten Raum aufspannen.2) Die Eigenwerte von H 1 und V 1 sind bekannt.Man kann natürlich nicht erwarten, daß beide Voraussetzungen bei anderenProblemen als (8.6.1), (8.6.2) in der Praxis erfüllt sind, insbesondere wird) 2,