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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 67Wir nehmen deshalb für das folgende an, daß A und damit alle A i (ggf.Hermitesche) Hessenbergmatrizen sind. Wir können weiter annehmen, daßdie Hessenbergmatrizen A i unzerlegbar sind, d. h., daß ihre Subdiagonalelementea (i) , j = 2, ..., n, von Null verschieden sind: denn sonst hatj, j−1die Hessenbergmatrix A i die FormA i =[ A′i∗0 A ′′iwobei Ai ′, A′′ iHessenbergmatrizen kleinerer Reihenzahl als n sind. Da dieEigenwerte von A i gerade die Eigenwerte von Ai ′ und die von Ai′′ sind,genügt es die Eigenwerte der kleineren Matrizen Ai ′, A′′ izu bestimmen. DasEigenwertproblem für A i ist damit auf kleinere Probleme der gleichen Artreduziert.Im Prinzip läuft das QR-Verfahren für Hessenbergmatrizen A dann soab, daß man nacheinander die A i nach (6.6.4.3) berechnet und die Elementea (i)n,n−1und a(i)n−1,n−2 der letzten beiden Zeilen von A i beobachtet, die i.a. (s.(6.6.4.12), (6.6.4.15)) für i →∞gegen 0 konvergieren. Sobald eines vonihnen genügend klein ist,],min { |a (i)n,n−1|, |a(i)n−1,n−2 |} ≤ eps ( |a nn (i) |+|a(i) n−1,n−1 |) ,wobei eps etwa die relative Maschinengenauigkeit ist, kann man sofort numerischakzeptable Näherungen für einige Eigenwerte von A i angeben.Ist z. B. |a (i)n,n−1| klein, dann ist a(i) nn eine solche Näherung, denn diesesElement ist exakter Eigenwert der zerfallenden Hessenbergmatrix à i , dieman aus A i erhält, wenn man dort a (i)n,n−1 durch 0 ersetzt: à i stimmt mitA i im Rahmen der Rechengenauigkeit überein, ‖à i − A i ‖≤eps ‖A i ‖. Mansetzt dann das QR-Verfahren mit der (n − 1)-reihigen Hessenbergmatrix Ai′fort, die man durch Streichen der letzten Zeile und Spalte von A i bzw. à ierhält.Ist dagegen |a (i)n−1,n−2| klein, so sind die beiden leicht berechenbarenEigenwerte der 2 × 2-Matrix[ ]a(i)n−1,n−1a (i)n,n−1a (i)n−1,nnumerisch akzeptable Näherungen für zwei Eigenwerte von A i , denn dieseNäherungen sind ebenfalls exakte Eigenwerte einer zerfallenden Hessenbergmatirxà i nahe bei A i : Man erhält à i , indem man jetzt in A i daskleine Element a (i)n−1,n−2durch 0 ersetzt. Das QR-Verfahren wird nun mitder (n − 2)-reihigen Hessenbergmatrix Ai ′ fortgesetzt, die man durch Streichender beiden letzten Zeilen und Spalten aus A i erhält.a (i)nn