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342 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeAus den Rekursionen folgen explizite Formeln für die höchsten Termedieser Polynome für k = 1, 2, ..., m:(8.7.4.5)R k (µ) = (−1) k a 0 a 1 ···a k−1 µ k + O(µ k−1 )P k (µ) = (−1) k a 0 a 1 ···a k−1 µ k + O(µ k−1 )Außerdem folgt aus der Aussage (A m ) (4) von Satz (8.7.4.2) die Orthogonalitätsrelation(8.7.4.6) (Ri (A T )ˆr 0 , R j (A)r 0)=(ˆr0 , R i (A)R j (A)r 0)= 0 for i < j ≤ m.Wir führen nun neue Vektoren ein,¯r k := Q k (A)R k (A)r 0 = Q k (A)r k ,¯p k := Q k (A)P k (A)r 0 = Q k (A)p k ,k = 0, 1, ...,die durch die Wahl weiterer reeller Polynome Q k (µ) vom Grad k der FormQ k (µ) = (1 − ω 1 µ)(1 − ω 2 µ) ···(1 − ω k µ)definiert sind. Die Q k hängen noch von frei zu wählenden Parametern ω iab und genügen jedenfalls der Rekursionsformel(8.7.4.7) Q k+1 (µ) = (1 − ω k+1 µ) Q k (µ).Es wird sich herausstellen, daß man die Vektoren ¯r k und ¯p k (und die zugehörigenVektoren ¯x k mit den Residuen b − A¯x k =¯r k ) direkt berechnenkann, ohne die vom Bi-CG-Verfahren erzeugten Vektoren zu verwenden.Überdies kann der Parameter ω k von Q k so gewählt werden, daß die Größedes neuen Residuums ¯r k minimal wird.Um dies zu zeigen, bemerken wir zunächst, daß die Rekursionen(8.7.4.4) und (8.7.4.7) zu einer Rekursion für ¯r k und ¯p k führen:(8.7.4.8a)¯r k+1 = Q k+1 (A)R k+1 (A)r 0[]= (1 − ω k+1 A)Q k (A) R k (A) − a k AP k (A) r 0[]= Q k (A)R k (A) − a k AQ k (A)P k (A) r 0[]− ω k+1 A Q k (A)R k (A) − a k AQ k (A)P k (A)=¯r k − a k A ¯p k − ω k+1 A(¯r k − a k A ¯p k ),r 0sowie