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7.7 Variationsverfahren für partielle Differentialgleichungen 251Beweis: Eine der Greenschen Formeln lautet∫ ∫− u∆vdx =ΩΩ( 2∑i=1) ∫D i uD i v dx − u ∂v∂Ω ∂ν dω.Dabei ist ∂v/∂ν die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen und dω∫das Linienelement von ∂Ω. Wegen u ∈ D L ist u(x) = 0für x ∈ ∂Ω, alsou∂v/∂νdω = 0. Daraus folgt die Behauptung des Satzes. ⊓⊔∂ΩWiederum [vgl. (7.5.9)] definiert die rechte Seite von (7.7.4) eine Bilinearform∫(7.7.5) [u,v]:=Ω( 2∑i=1und es gilt ein Analogon zu Satz (7.5.11):)D i uD i v + cuv dx,(7.7.6) Satz: Es gibt Konstanten γ>0, Γ>0 mit(7.7.7) γ‖u‖ 2 W (1) ≤ [u, u] ≤ ΓDabei isteine sog. Sobolev-Norm.2∑‖D i u‖ 2 2 für alle u ∈ D L .i=1‖u‖ 2 W (1) := (u, u) + (D 1 u, D 1 u) + (D 2 u, D 2 u)Beweis: Das Gebiet Ω ist beschränkt. Es gibt also ein Quadrat Ω 1 der Seitenlängea, das Ω im Inneren enthält. O.B.d.A. sei der Nullpunkt Eckpunktvon Ω 1 (s. Figur 18).ºÜ ¾ º ºº¼ººººÅ ½ÅºººÜ ½Fig. 18. Die Gebiete Ω und Ω 1