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8.3 Relaxationsverfahren 283Durch Übergang zum Hermitesch Konjugierten der letzen Gleichung erhältman wegen A = A HDurch Addition folgtx H (2B H − A)y = ¯λx H Ax.x H (B + B H − A)x = Re λ x H Ax.Nun sind aber A und (B + B H − A) positiv definit und daher Re λ>0. Fürdie Matrix Q := A −1 (2B − A) = 2A −1 B − I ist(Q − I)(Q + I) −1 = I − B −1 A = H(ω).[Man beachte, daß B eine nichtsinguläre Dreiecksmatrix ist, also B −1 unddamit (Q + I) −1 existieren.] Ist µ Eigenwert von H(ω) und z zugehörigerEigenvektor, so folgt ausfür den Vektor y := (Q + I) −1 z ≠ 0(Q − I)(Q + I) −1 z = H(ω)z = µz(Q − I)y = µ(Q + I)y(1 − µ)Qy = (1 + µ)y.Wegen y ≠ 0 muß µ ≠ 1 sein und man erhält schließlichQy = 1 + µ1 − µ y,d. h. λ = (1 + µ)/(1 − µ) ist Eigenwert von Q = A −1 (2B − A). Hierauserhält man µ = (λ − 1)/(λ + 1) und deshalb für |µ| 2 = µ ¯µ|µ| 2 = |λ|2 + 1 − 2Reλ|λ| 2 + 1 + 2Reλ .Wegen Re λ> 0 für 0