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6.5 Reduktion von Matrizen auf einfachere Gestalt 33um eine Hermitesche Matrix A auf Tridiagonalgestalt B = A m zu bringen.Zur Beschreibung dieser Methode nehmen wir der Einfachheit halber an,daß A = A H reell ist; in diesem Fall kann ψ = 0 gewählt werden, Ω jk istdann orthogonal.Man beachte, daß sich bei einer Linksmultiplikation A → Ω −1jk A =Ωjk H A nur die Zeilen j und k von A ändern, bei einer RechtsmultiplikationA → AΩ jk nur die Spalten j und k. Wir beschreiben nur den ersten Transformationsschritt,der aus zwei Teilschritten besteht,A = A 0 → T −11A 0 =: A ′ 0 → A′ 0 T 1 = T −11A 0 T 1 =: A 1 .Im ersten Teilschritt A 0 → A ′ 0 wird die Matrix T 1 = Ω 23 , T −11= Ω23Hso gewählt [s. Abschnitt (4.9)], daß das Element in Position (3, 1) vonA ′ 0 = Ω 23 H A 0 annulliert wird; bei der anschließenden Rechtsmultiplikationmit Ω 23 , A ′ 0 → A 1 = A ′ 0 Ω 23, bleibt die Null in Position (3, 1) erhalten (s.Skizze für eine vierreihige Matrix, sich ändernde Elemente werden mit ∗bezeichnet)⎡ ⎤ ⎡ ⎤x x x x⎢ x x x xA 0 = ⎣x x x xx x x xx x x x⎥⎦ → Ω23 H A ⎢ ∗ ∗ ∗ ∗⎥0 = ⎣ ⎦ = A ′0 ∗ ∗ ∗0x x x x⎡ ⎤x ∗ 0 x→ A ′ 0 Ω ⎢ x ∗ ∗ x ⎥23 = ⎣ ⎦ =: A0 ∗ ∗ x 1 .x ∗ ∗ xDa mit A 0 auch A 1 Hermitesch ist, wird bei der Transformation A ′ 0 → A 1auch das Element in Position (1, 3) annulliert. Anschließend wird das Elementin Position (4, 1) mit einer Givensrotation T 2 = Ω 24 zu Null transformiertusw. Allgemein wählt man als T i der Reihe nach die MatrizenΩ 23 , Ω 24 , ..., Ω 2n ,Ω 34 , ..., Ω 3n ,.Ω n−1,n ,und zwar so, daß durch Ω jk , j = 2, 3, ..., n − 1, k = j + 1, j + 2,..., n, das Element in Position (k, j − 1) annulliert wird. Ein Vergleichmit dem Verfahren von Householder ergibt, daß diese Variante des Verfahrensvon Givens etwa doppelt so viele Operationen benötigt. Aus diesemGrunde wird das Householder-Verfahren meistens vorgezogen. Es gibt jedochmodernere Varianten („rationale Givenstransformationen“), die demHouseholder-Verfahren vergleichbar sind.