Springer-Lehrbuch - tiera.ru

8.8 Der Algorithmus von Buneman und Fouriermethoden 349⎡⎤ ⎡A (r+1) I 0I A (r+1) . ...⎢ .. . .. I ⎥ ⎢⎣⎦ ⎣0 I A (r+1)z (r+1)1z (r+1)2.z (r+1)q r+1⎤⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣b (r+1)1b (r+1)2.b (r+1)q r+1Seine Lösung z (r+1) liefert die geradzahlig indizierten Teilvektoren derLösung z (r) des Gleichungssystems M (r) z (r) = b (r) der Stufe r:⎡ ⎤ ⎡ ⎤z (r)2z (r+1)1z (r)z :=⎢4.(r+1)2 ,⎥ ⎢ . ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦z (r)q r −1z (r)q rz (r+1)q r+1während sich die ungeradzahlig indizierten Teilvektoren von z (r) durchLösung der folgenden Gleichungen ergeben:⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤A (r) 0 z (r)1b (r)1− z (r)2A (r) z (r)3 b (r)3− z (r)2− z (r)4.⎢.....=⎥ ⎢ ⎥ ⎢.. ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦0 A (r) − z (r)q r −1b (r)q r⎤.⎥⎦Man erhält so aus den Daten A (r) , b (r) , die durch (8.8.6) geliefert werden,schließlich die Lösung z := z (0) von (8.8.2) nach den folgenden Regeln:(8.8.7).0) Start: Bestimme z (k) = z (k)1durch Lösung des GleichungssystemsA (k) z (k) = b (k) = b (k)1 .1) Für r = k − 1, k − 2, ...,0:a) Setze z (r)2 j:= z (r+1)j, j = 1, 2, ..., q r+1 = 2 k−r − 1.b) Berechne für j = 1, 3, 5, ..., q r die Vektoren z (r)jdurch LösungvonA (r) z (r)j= b (r)j− z (r)j−1 − z(r) j+1 .2) Setze z := z (0) .In der Fassung (8.8.6), (8.8.7) ist der Algorithmus noch unvollständig under hat er schwerwiegende numerische Mängel: Zunächst ist die explizite