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8.7 Krylovraum-Methoden 325kann deshalb nicht lösbar sein: Denn die eindeutige Lösung der letzten kGleichungen ist wegen h j+1, j ≠ 0, nur der Nullvektor y = 0, der aberwegen β ≠ 0 keine Lösung der ersten Gleichung ist.⊓⊔Die linearen Ausgleichsprobleme (8.7.2.10) kann man mit Hilfe vonOrthogonalisierungsverfahren [siehe Band I, Abschnitt 4.8.2] lösen, wobeiman ausnutzt, daß ¯H k eine Hessenbergmatrix ist. Haupthandwerkszeug sind(k + 1)-reihige Givensrotationen Ω j = Ω j, j+1 ( j=1, 2, ..., k) vom TypΩ j, j+1 [siehe (6.5.2.1)]⎡⎤1⎢⎥Ω j, j+1 =⎢⎣. ..1c j−s js j c j1. ..1⎥⎦← j← j + 1 , c2 j + s 2 j = 1.Ihre Parameter c j , s j werden so gewählt, daß in der Folge von Matrizen¯H k → Ω 1 ¯H k → Ω 2 (Ω 1 ¯H k ) →···→Ω k (Ω k−1 ···Ω 1 ¯H k ) =: ¯R kalle Subdiagonalelemente der Reihe nach annulliert werden und eine obere(k + 1) × k-reihige Dreiecksmatrix⎡ ⎤[ ]x ... xRk¯R k = , R0 k = ⎣.. .. .⎦ ,0 ... xentsteht. Die gleichzeitige Transformation des Vektors ḡ 0 := βē 1 ∈ R k+1ḡ 0 → Ω 1 ḡ 0 →···→Ω k (Ω k−1 ···Ω 1 ḡ 0 ) =: ḡ kliefert schließlich einen Vektorḡ k :=[gk¯γ k+1], g k :=⎡ ⎤γ 1γ⎢ 2⎥⎣ ⎦.∈ Rkγ k(die Bezeichnung erklärt sich dadurch, daß sich die Komponenten γ 1 , ...,γ k von ḡ k im weiteren Verlauf des Verfahrens, k → k + 1 → ···, nichtmehr ändern werden).