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190 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenx − a = tz n+1 , 0 ≤ t ≤ 1,_z n+1 = dz n+1dt= 0.[Stattdessen eignet sich auch irgendein Ansatz der Form x −a = Φ(t, z n+1 )mit Φ(1, z n+1 ) = z n+1 .]Damit gilt für z(t) := y(a + tz n+1 ), y(x) eine Lösung von (7.3.0.4),ż(t) = D t z(t) = D x y(a + tz n+1 ) z n+1 = f ( a + tz n+1 , z(t) ) z n+1 .(7.3.0.4) ist daher mit dem Randwertproblem vom Typ (7.3.0.1)⎡ ⎤ ⎡⎤ż 1 z n+1 f 1 (a + tz n+1 , z 1 ,...,z n )(7.3.0.5) ⎢. ⎥⎣ż⎦ = ⎢ . ⎥⎣⎦n z n+1 f n (a + tz n+1 , z 1 ,...,z n ),ż n+1 0r i(z1 (0),...,z n (0), z 1 (1),...,z n (1) ) = 0, i = 1,...,n + 1,für die Funktionen z i (t), i = 1, ..., n + 1, äquivalent.7.3.1 Das einfache SchießverfahrenWir wollen das einfache Schießverfahren zunächst an einem Beispiel erläutern.Gegeben sei das Randwertproblem(7.3.1.1)w ′′ = f (x,w,w ′ ),w(a) = α,w(b) = βmit separierten Randbedingungen. Das Anfangswertproblem(7.3.1.2) w ′′ = f (x,w,w ′ ), w(a) = α, w ′ (a) = sbesitzt dann i. a. eine eindeutig bestimmte Lösung w(x) ≡ w(x; s), dienatürlich von der Wahl des Anfangswertes s für w ′ (a) abhängt. Um dasRandwertproblem (7.3.1.1) zu lösen, müssen wir s =: ¯s so bestimmen, daßdie zweite Randbedingung erfüllt wird, w(b) = w(b;¯s) = β. Mit anderenWorten: man hat eine Nullstelle ¯s der Funktion F(s) :≡ w(b; s) − β zufinden. Für jedes Argument s kann man F(s) berechnen, indem man z. B.mit den Methoden von Abschnitt 7.2 den Wert w(b) = w(b; s) der Lösungw(x; s) des Anfangswertproblems (7.3.1.2) an der Stelle x = b bestimmt.Eine Berechnung von F(s) läuft also auf die Lösung eines Anfangswertproblemshinaus.Zur Bestimmung einer Nullstelle ¯s von F(s) kann man im Prinzip alleMethoden von Kapitel 5 benutzen. Kennt man z. B. Werte s (0) , s (1) mit