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7.4 Differenzenverfahren 235Insbesondere folgt aus diesem Satz, daß das Gleichungssystem (7.4.6)eine Lösung besitzt, falls q(x) ≥ 0für x ∈ [a, b], die z. B. mittels desCholesky-Verfahrens [s. 4.3] leicht gefunden werden kann. Da A eine Tridiagonalmatrixist, ist die Zahl der Operationen für die Auflösung von (7.4.6)proportional zu n.Wir wollen nun die Fehler y i −u i der aus (7.4.6) gewonnenen Näherungswerteu i für die exakten Lösungen y i = y(x i ), i = 1, ..., n, abschätzen.(7.4.10) Satz: Das Randwertproblem (7.4.1) habe eine Lösung y(x) ∈C 4 [a, b] und es gelte |y (4) (x)|≤M für x ∈ [a, b]. Ferner sei q(x) ≥ 0 fürx ∈ [a, b] und u = [u 1 ,...,u n ] T die Lösung von (7.4.6). Dann gilt|y(x i ) − u i |≤ Mh224 (x i − a)(b − x i ) für i = 1, 2, ..., n.Beweis: In den folgenden Abschätzungen sind Betragszeichen |.| oderUngleichungen ≤ für Vektoren oder Matrizen komponentenweise zu verstehen.Wegen (7.4.5) und (7.4.6) hat man für ȳ − u die GleichungA(ȳ − u) = τ(y).Satz (7.4.7) und die Darstellung (7.4.2) für τ(y) ergeben dann(7.4.11) |ȳ − u|=|A −1 τ(y)|≤à −1 |τ(y)|≤ Mh212 Ã−1 emit e := [1, 1,...,1] T . Der Vektor à −1 e kann mittels folgender Beobachtungsofort angegeben werden: Das spezielle Randwertproblem−y ′′ (x) = 1, y(a) = y(b) = 0,des Typs (7.4.1) besitzt die exakte Lösung y(x) = 1 (x − a)(b − x). Für2dieses Randwertproblem gilt aber wegen (7.4.2) τ(y) = 0 und es stimmendie diskrete Lösung u von (7.4.6) und die exakte Lösung ȳ von (7.4.5)überein. Überdies ist für dieses spezielle Randwertproblem die Matrix A(7.4.4) gerade die Matrix à (7.4.8) und k = e. Also gilt à −1 e = u, u i =12 (x i − a)(b − x i ). Zusammen mit (7.4.11) ergibt das die Behauptung desSatzes.⊓⊔Unter den Voraussetzungen des Satzes gehen also die Fehler mit h 2 gegen0, es liegt ein Differenzenverfahren zweiter Ordnung vor. Das Verfahrenvon Störmer und Numerov zur Diskretisierung der Differentialgleichungy ′′ (x) = f (x, y(x)),y i+1 − 2y i + y i−1 = h212 ( f i+1 + 10 f i + f i−1 ),