Springer-Lehrbuch - tiera.ru

6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 47Wir setzen voraus, daß B unzerlegbar (irreduzibel) ist, d. h., daßb i,i−1 ≠ 0für i = 2, ..., n gilt. Dann kann man für festes µ Zahlen α, x 1 ,..., x n−1 , so bestimmen, daß x = (x 1 ,...,x n−1 , x n ), x n := 1, Lösung desGleichungssystems(B − µI)x = αe 1ist, oder ausgeschrieben(6.6.2.1)(b 11 − µ)x 1 + b 12 x 2 +···+b 1n x n = α,b 21 x 1 + (b 22 − µ)x 2 +···+b 2n x n = 0,b n,n−1 x n−1 + (b nn − µ)x n = 0.Ausgehend von x n = 1 kann man nämlich aus der letzten Gleichung x n−1bestimmen, aus der vorletzten x n−2 , ..., aus der 2. Gleichung x 1 und ausder 1. Gleichung schließlich α. Natürlich hängen die Zahlen x i und α vonµ ab. Faßt man (6.6.2.1) als Gleichung für x bei gegebenem α auf, so folgtaus der Cramerschen Regeloder1 = x n = α(−1)n−1 b 21 b 32 ...b n,n−1,det(B − µI)(−1) n−1(6.6.2.2) α= α(µ) =det(B − µI).b 21 b 32 ...b n,n−1Bis auf eine multiplikative Konstante ist also α = α(µ) mit dem charakteristischenPolynom von B identisch. Durch Differentiation nach µ erhältman aus (6.6.2.1) wegen x n ≡ 1, x n ′ ≡ 0für x′ i:= xi ′ (µ) die Formeln(b 11 − µ)x ′ 1 − x 1 + b 12 x ′ 2 +···+b 1,n−1x ′ n−1 = α′ ,b 21 x ′ 1 + (b 22 − µ)x ′ 2 − x 2 +···+b 2,n−1 x ′ n−1 = 0,b n,n−1 x ′ n−1 − x n = 0,die man zusammen mit (6.6.2.1) ausgehend von der letzten Gleichung rekursivnach den x i , x ′ i , α und schließlich α′ auflösen kann. Man kann soα = α(µ) und α ′ (µ) für jedes µ ausrechnen, und so das Newton-Verfahrenanwenden, um die Nullstellen von α(µ), d.h. wegen (6.6.2.2) die Eigenwertevon B zu berechnen...