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148 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenDa u n /n = λ n für n →∞nicht gegen 0 konvergiert, muß λ einfacheNullstelle sein.2) Sei nun umgekehrt die Stabilitätsbedingung (7.2.9.4) erfüllt. Mit denAbkürzungen⎡u⎤ ⎡⎤j0 1 0u j+1· ·U j := ⎢ ⎥⎣ ⎦.∈ Cr , A := ⎢ · · ⎥⎣⎦ ,0 0 1u j+r−1 −a 0 · · · −a r−1ist die Differenzengleichung (7.2.9.1) in Matrixschreibweise zur Rekursionsformel(7.2.9.6) U j+1 = AU j , j = 0, 1,...,äquivalent, so daß U n = A n U 0 . Dabei ist U 0 = [u 0 , u 1 ,...,u r−1 ] T geradeder Vektor der Startwerte und A eine Frobeniusmatrix mit dem charakteristischenPolynom ψ(µ) (7.2.9.3) [Satz (6.3.4)]. Weil die Stabilitätsbedingung(7.2.9.4) erfüllt ist, gibt es nach Satz (6.9.2) eine Norm ‖‖auf dem C r mitlub(A) = 1für die zugehörige Matrixnorm. Es folgt daher für alle U 0 ∈ C r(7.2.9.7) ‖U n ‖=‖A n U 0 ‖≤‖U 0 ‖ für alle n = 0, 1, ... .Da auf dem C r alle Normen äquivalent sind [Satz (6.9.2)], gibt es ein k > 0mit (1/k)‖U‖≤‖U‖ ∞ ≤ k‖U‖. Es folgt daher für alle U 0 ∈ C r||U n || ∞ ≤ k 2 ||U 0 || ∞ , n = 0, 1,...,d.h. es gilt lim n→∞ (1/n)||U n || ∞ = 0 und daher (7.2.9.2). ⊓⊔Der Beweis des letzten Satzes beruht darauf, daß die Nullstellen λ i vonψ spezielle Lösungen der Form u n := λi n , n ≥ 0, von (7.2.9.1) liefern.Der folgende Satz zeigt, daß man alle Lösungen von (7.2.9.1) in ähnlicherWeise darstellen kann:(7.2.9.8) Satz: Das Polynomψ(µ) := µ r + a r−1 µ r−1 +···+a 0habe die k verschiedenen Nullstellen λ i , i = 1, 2, ..., k mit den Vielfachheitenσ i , i = 1, 2, ..., k, und es sei a 0 ≠ 0. Dann ist für beliebige Polynomep i (t) mit Grad p i