Springer-Lehrbuch - tiera.ru

382 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssystemeundlim α j = lim β j.j→∞ j→∞23. Man bestimme die Parameter r (4)i für m = 4, α = 0.5, β = 3.5 aus (8.6.23) undvergleiche sie mit den Näherungswerten der Formel von Peaceman-Rachfordin Aufgabe 21. Insbesondere vergleiche man ϕ(r 1 ,...,r 4 ) mit der in Aufgabe21 c) gegebenen Abschätzung.24. Man betrachte das Dirichletsche Problem zur Differentialgleichungu xx + u yy + 1 x u x + 1 y u y = 0{}in einem rechteckigen Gebiet Ω mit Ω ⊂ (x, y) | x ≥ 1, y ≥ 1 . Man gebeeine Differenzenapproximation des Problems, so daß das entstehende lineareGleichungssystem der Formdie Eigenschaft HV = VH besitzt.(H + V)z = b25. (Varga (1962)) Man betrachte die Differentialgleichungu xx + u yy = 0auf dem Rechtecksgebiet Ω :={(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1} mit den Randbedingungenu(0, y) = 1, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.∂u ∂u(x, 0) = (x, 1) = 0, 0 ≤ x ≤ 1.∂y ∂ya) Analog zu (8.4.2) diskretisiere man u xx +u yy für die Maschenweite h = 1/3für alle Gitterpunkte an denen die Lösung unbekannt ist. Die Randbedingungu y (x, 0) = u y (x, 1) = 0 berücksichtige man durch Einführung fiktiverGitterpunkte z. B. (x i , −h) und approximiere u y (x i , 0) durchu y (x i , 0) = u(x i, 0) − u(x i − h)h+ O(h), i = 1, 2.Man erhält so ein lineares Gleichungssystem Az = b in acht Unbekannten.Man gebe A und b an.b) Man bestimme die Zerlegung A = H 1 + V 1 entsprechend (8.6.3) und zeigeH 1 ist reell, symmetrisch, positiv definit,V 1 ist reell, symmetrisch, positiv semidefinit.c) Man zeige:H 1 V 1 = V 1 H 1 .d) Obwohl die Voraussetzungen von (8.6.9) nicht erfüllt sind, zeige manρ(T r ) 0 und man berechne r opt :ρ(T ropt ) = min ρ(T r ).r>0