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8.7 Krylovraum-Methoden 333beschleunigen: Diese Techniken beruhen auf der Wahl einer geeignetenVorkonditionierungsmatrix B mit den folgenden Eigenschaften:1) B ist eine gute Approximation von A, sodaßB −1 A bzw. AB −1 guteApproximationen der Einheitsmatrix sind.2) Gleichungssysteme der Form Bu = v sind leicht lösbar, d.h. B −1 v istleicht berechenbar.Die Eigenschaft 2) ist z.B. dann erfüllt, wenn man eine LR-Zerlegungvon B = LR mit dünn besetzten Dreiecksmatrizen L und R kennt.Anders als beim cg-Verfahren kann man zu gegebenem B zwischenzwei Vorkonditionierungstechniken wählen: Bei der Linksvorkonditionierungwendet man das GMRES-Verfahren auf das zu Ax = b äquivalenteSystemB −1 Ax = B −1 b,und bei der Rechtsvorkonditionierung auf das SystemAB −1 u = bin den neuen Variablen u = Bx an. Wir gehen hier nur auf die Links-Vorkonditionierung ein. Man hat dann im GMRES-Verfahren lediglich dieMatrix A durch B −1 A und das Residuum r 0 = b − Ax 0 durch das neueResiduum q 0 := B −1 b − B −1 Ax 0 = B −1 r 0 zu ersetzen. Man erhält so statt(8.7.2.3) folgendes Verfahren:(8.7.2.23) GMRES mit Linksvorkonditionierung:Gegeben ǫ>0, x 0 mit r 0 := b − Ax 0 ≠ 0.0) Berechne q 0 := B −1 r 0 , β := ¯γ 0 :=‖q 0 ‖ 2 , v 1 := q 0 /βund setze k := 1.1) Berechne w := B −1 Av k .2) Für i = 1, 2, , kberechne h i¡k := v T iw, w := w − h i¡kv i .3) Berechne h k+1¡k :=‖w‖ 2 und ¯γ k+1 [s. (8.7.2.18)].4) Falls |¯γ k+1 | >ǫ,berechne v k+1 := w/h k+1¡k, setze k := k + 1und gehe zu 1).Andernfalls,5) bestimme die Lösung y k von (8.7.2.13), berechnex k := x 0 + V k y k , setze m := k und stop.