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6.5 Reduktion von Matrizen auf einfachere Gestalt 41kleinsten Eigenwerte sehr rasch gegen den größten bzw. kleinsten Eigenwertvon A konvergieren [Kaniel-Paige-Theorie: s. Kaniel (1966), Paige(1971), Saad (1980)]. Wenn man nur an den extremen Eigenwerten von Ainteressiert ist (dies kommt in den Anwendungen sehr oft vor), genügendeshalb relativ wenige Iterationen des Verfahrens, um die extremen Eigenwertevon A mit ausreichender Genauigkeit durch die extremen Eigenwerteeiner Matrix J i mit i ≪ n zu approximieren.4. Bei exakter Rechnung würde das Lanczos-Verfahren (6.5.3.1) orthogonaleVektoren q i liefern. Unter dem Einfluß von Rundungsfehlern verlierendie tatsächlich berechneten Vektoren ˜q i aber rasch ihre Orthogonalität.Diesen Defekt kann man im Prinzip dadurch beheben, daß man in jedemSchritt den neu berechneten Vektor ˆq i+1 an allen Vektoren ˜q i , i ≤ j, reorthogonalisiert,d. h. daß man ˆq i+1 durchi∑H˜q i+1 :=ˆq i+1 −(˜q jj=1ˆq i+1)˜qjersetzt. Leider ist dies sehr aufwendig, man muß jetzt alle Vektoren ˜q i speichernund statt O(n) benötigt man O(i · n) Operationen im i-ten Lanczos-Schritt. Es gibt jedoch verschiedene Vorschläge und Untersuchungen inder Literatur [s. etwa Paige (1971), Parlett und Scott (1979), Cullum undWilloughby (1985) (hier findet man auch Programme)], wie man diesenAufwand verringern und trotz der beschriebenen Schwierigkeiten sehr guteApproximationen für die Eigenwerte von A mittels des Lanczos-Verfahrensbestimmen kann.6.5.4 Reduktion auf Hessenberg-GestaltEs wurde bereits in Abschnitt 6.5.1 bemerkt, daß man eine gegebene n × n-Matrix A mittels n − 2 Householdermatrizen T i ähnlich auf HessenberggestaltB transformieren kannA := A 0 → A 1 →···→ A n−2 = B,A i = T −1iA i−1 T i .Wir wollen nun einen zweiten Algorithmus dieser Art beschreiben, bei demals Transformationsmatrizen T i Produkte von PermutationsmatrizenP rs := [e 1 ,...,e r−1 , e s , e r+1 ,...,e s−1 , e r , e s+1 ,...,e n ],(hier ist e j der j-te Achsenvektor des R n ) mit P Trs = P rs = P −1rs und vonEliminationsmatrizen der Form