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ϕ 1 (h) = u 0 (x) + u 1 (x)h 2 + u 2 (x)h 4 +···,ϕ 2 (h) = v 0 (x) + v 1 (x)h 2 + v 2 (x)h 4 +···7.2 Anfangswertprobleme 161mit gewissen analytischen Funktionen u j (x), v j (x). Aus den expliziten Formelnfür c i (h), λ i (h) findet man leicht die ersten Glieder dieser Reihen:u 0 (x) = e −x , u 1 (x) = e−x[−1 + 2x],4v 0 (x) = 0, v 1 (x) = ex4 .Damit besitzt η(x; h) für alle h = x/n, n = 1, 2, ..., eine Entwicklung derForm∞∑(7.2.12.5) η(x; h) = y(x) + h 2k[ u k (x) + (−1) x/h v k (x) ] .k=1Wegen des oszillierenden von h abhängigen Terms (−1) x/h ist dieskeine asymptotische Entwicklung der Form (7.2.12.1).Schränkt man die Wahl von h so ein, daß x/h stets gerade bzw. ungeradeist, erhält man echte asymptotische Entwicklungen einmal für alleh = x/(2n), n = 1, 2, ...,∞∑(7.2.12.6a) η(x; h) = y(x) + h 2k [u k (x) + v k (x)],bzw. für alle h = x/(2n − 1), n = 1, 2, ...,∞∑(7.2.12.6b) η(x; h) = y(x) + h 2k [u k (x) − v k (x)].Berechnet man den Startwert η 1 statt mit dem Eulerverfahren mit dem Verfahrenvon Runge-Kutta (7.2.1.14), erhält man als Startwerteη 0 := 1,k=1k=1η 1 := 1 − h + h22 − h36 + h424 .Für c 1 und c 2 bekommt man auf dieselbe Weise wie oben[1c 1 = c 1 (h) =2 √ 1 + √ ]1 + h 2 + h21 + h 2 2 − h36 + h4,24√1 + h2 − 1 − h22c 2 = c 2 (h) =+ h36 − h4242 √ .1 + h 2