Springer-Lehrbuch - tiera.ru

8.7 Krylovraum-Methoden 317Dies ist z. B. der Fall, wenn für B = LL T eine Choleskyzerlegung bekanntist und L eine dünn besetzte Matrix ist, z. B. eine Bandmatrix.Nach Wahl von B ist der Vektor ¯x ′ := B 1/2 ¯x Lösung des zu Ax = bäquivalenten SystemsA ′ x ′ = b ′ , b ′ := B −1/2 b.Man wendet nun das cg-Verfahren (8.7.1.3) auf das System A ′ x ′ = b ′ ausgehendvon dem Startvektor x0 ′ := B1/2 x 0 an. Wegen (8.7.1.9) und c ′ ≪ ckonvergiert die Folge xk ′ , die das cg-Verfahren für A′ x ′ = b ′ erzeugt, sehrrasch gegen ¯x ′ . Statt aber die Matrix A ′ und die cg-Folge xk ′ explizit zu berechnen,konstruiert man direkt die den xk ′ entsprechende rücktransformierteFolge x k := B −1/2 xk ′ . Unter Verwendung der TransformationsregelnA ′ = B −1/2 AB −1/2 , b ′ = B −1/2 b,x ′ k = B1/2 x k , r ′ k = b′ − A ′ x ′ k = B−1/2 r k , p ′ k = B1/2 p kfindet man so aus den Formeln (8.7.1.3) für das gestrichene System sofortdie Regeln für den(8.7.1.10) cg-Algorithmus mit Vorkonditionierung:Start: Wähle x 0 ∈ R n , berechne r 0 := b − Ax 0 , q 0 := B −1 r 0 und p 0 := q 0 .Für k = 0, 1, ...:1) Falls p k = 0, stop: x k ist Lösung von Ax = b.Andernfalls,2) berechnea k := r k T q kpk T Ap , x k+1 := x k + a k p k ,kr k+1 := r k − a k Ap k , q k+1 := B −1 r k+1 ,b k := r k+1 T q k+1rk T q , p k+1 := q k+1 + b k p k .kVerglichen mit (8.7.1.3) hat man jetzt in jedem Schritt zusätzlich einlineares Gleichungssystem Bq = r mit der Matrix B zu lösen.Es bleibt das Problem, ein geeignetes B zu wählen, ein Problem, dasbereits bei der Bestimmung guter Iterationsverfahren in den Abschnitten8.1–8.3 in ähnlicher Form studiert wurde. Bei der Lösung der GleichungssystemeAx = b, die bei der Diskretisierung von Randwertproblemenfür elliptische Differentialgleichungen auftreten, etwa bei der Lösung desModellproblems in Abschnitt 8.4, hat es sich bewährt, als Vorkonditionierungsmatrizendie sog. SSOR-Matrizen [vgl. 8.3]