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8 Iterationsverfahren zur Lösunggroßer linearer Gleichungssysteme,einige weitere Verfahren8.0 EinleitungViele praktische Probleme führen zu der Aufgabe, sehr große lineare GleichungssytemeAx = b zu lösen, bei denen glücklicherweise die MatrixA nur schwach besetzt ist, d. h. nur relativ wenige nicht verschwindendeKomponenten besitzt. Solche Gleichungssysteme erhält man z. B. bei derAnwendung von Differenzenverfahren oder finite-element Methoden zurnäherungsweisen Lösung von Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen.Die üblichen Eliminationsverfahren [s. Kapitel 4] könnenhier nicht ohne weiteres zur Lösung verwandt werden, weil sie ohne besondereMaßnahmen gewöhnlich zur Bildung von mehr oder weniger vollbesetzten Zwischenmatrizen führen und deshalb die Zahl der zur Lösung erforderlichenRechenoperationen auch für die heutigen Rechner zu groß wird,abgesehen davon, daß die Zwischenmatrizen nicht mehr in die üblicherweiseverfügbaren Maschinenspeicher passen.Aus diesen Gründen hat man schon früh Iterationsverfahren zur Lösungsolcher Gleichungssysteme herangezogen. Bei diesen Verfahren wird ausgehendvon einem Startvektor x (0) eine Folge von Vektorenx (0) → x (1) → x (2) →···erzeugt, die gegen die gesuchte Lösung x konvergiert. Allen diesen Verfahrenist gemeinsam, daß der einzelne Iterationsschritt x (i) → x (i+1) einenRechenaufwand erfordert, der vergleichbar ist mit der Multiplikation vonA mit einem Vektor, d.h. einen sehr geringen Aufwand, wenn A schwachbesetzt ist. Aus diesem Grunde kann man mit noch erträglichem Rechenaufwandrelativ viele Iterationsschritte ausführen. Dies ist schon deshalbnötig, weil diese Verfahren nur linear und zwar gewöhnlich auch noch sehrlangsam konvergieren. Dies zeigt aber auch, daß diese Verfahren den Eliminationsverfahrenin der Regel unterlegen sind, wenn A eine kleine Matrix(eine 100 × 100-Matrix ist in diesem Sinne noch klein) oder nicht schwachbesetzt ist.