Springer-Lehrbuch - tiera.ru

7.2 Anfangswertprobleme 171auf keine grundsätzlichen Schwierigkeiten. Die modernen Mehrschrittverfahrenund auch die Extrapolationsverfahren arbeiten darüber hinaus nichtmit festen Ordnungen. Bei Extrapolationsverfahren kann die Ordnung beispielsweisemühelos durch Anhängen weiterer Spalten an das Tableau derextrapolierten Werte erhöht werden. Einschrittverfahren vom Runge-Kutta-Fehlberg-Typ sind von der Konstruktion her an eine feste Ordnung gebunden,doch lassen sich mit entsprechend komplizierten Ansätzen auch Verfahrenmit variabler Ordnung konstruieren. Untersuchungen darüber sind imGange.Um die Vor- bzw. Nachteile der verschiedenen Integrationsmethodenherauszufinden, wurden mit größter Sorgfalt Rechenprogramme für die obenerwähnten Verfahren erstellt und umfangreiche numerische Experimente miteiner Vielzahl von Differentialgleichungen durchgeführt.Das Ergebnis kann etwa so beschrieben werden: Den geringsten Rechenaufwandgemessen in der Anzahl der Auswertungen der rechten Seite einerDifferentialgleichung erfordern die Mehrschrittverfahren. Pro Schritt mußbei einem Prädiktor-Verfahren die rechte Seite der Differentialgleichungennur einmal zusätzlich ausgewertet werden, bei einem Korrektor-Verfahrenist diese Zahl gleich der (im allgemeinen geringen) Zahl der Iterationen.Der Aufwand, den die Schrittweitensteuerung bei Mehrschrittverfahren verursacht,gleicht diesen Vorteil aber wieder weitgehend aus. Mehrschrittverfahrenhaben den höchsten Aufwand an Unkosten-Zeit (overhead-time).Vorteile sind insbesondere dann gegeben, wenn die rechte Seite der Differentialgleichungsehr kompliziert gebaut ist und deshalb jede ihrer Auswertungensehr teuer ist. Im Gegensatz dazu haben Extrapolationsverfahrenden geringsten Aufwand an Unkosten-Zeit, dagegen reagieren sie manchmalnicht so „feinfühlig“ auf Änderungen der vorgegebenen Genauigkeitsschrankeε wie Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren: häufig werdenviel genauere Ergebnisse als gewünscht geliefert. Die Zuverlässigkeitder Extrapolationsverfahren ist sehr groß, bei geringeren Genauigkeitsanforderungenarbeiten sie aber nicht sehr wirtschaftlich, sie sind dann zuteuer.Bei geringen Genauigkeitsanforderungen sind Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren (RKF-Verfahren) niedriger Ordnungen p vorzuziehen. RKF-Verfahren gewisser Ordnungen reagieren auf Unstetigkeiten der rechtenSeite der Differentialgleichung manchmal weniger empfindlich als Mehrschritt-oder Extrapolations-Verfahren. Zwar wird, wenn keine besonderenVorkehrungen getroffen werden, bei RKF-Verfahren die Genauigkeit aneiner Unstetigkeitsstelle zunächst drastisch reduziert, danach aber arbeitendiese Verfahren wieder störungsfrei weiter. Bei gewissen prakischen Problemenkann das vorteilhaft sein.