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180 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenIm folgenden werden einige grundsätzliche Unterschiede solcher impliziterSysteme zu den bisher behandelten Systemen der Form (wir bezeichnendie unabhängige Variable wieder mit x)(7.2.17.5) y ′ (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) := y 0 ,angegeben. Bei Systemen vom Typ (7.2.17.1),(7.2.17.6)Ay ′ (x) = By(x) + f (x),y(x 0 ) = y 0 ,mit y(x) ∈ R n und n × n-Matrizen A, B kann man folgende Fälle unterscheiden:1. Fall: A regulär, B beliebig.Die formale Lösung des zugehörigen homogenen Systems isty(x) = e (x−x 0)A −1 B y 0 .Obwohl das System in explizite Form gebracht werden kann, y ′ = A −1 By+A −1 f , ist dies in der Praxis für große dünn besetzte Matrizen A und B nichtmöglich, weil A −1 B in der Regel eine „volle“ Matrix sein wird, die schwerzu berechnen und zu speichern ist.2. Fall: A singulär, B regulär.Dann ist (7.2.17.6) äquivalent zuB −1 Ay ′ = y + B −1 f (x).Die Jordan-Normalform J der singulären Matrix B −1 A = TJT −1 hat dieGestalt[ ]W OJ = ,O Nwobei W die Jordanblöcke zu den Eigenwerten λ ≠ 0 von B −1 A enthältund N die zu den Eigenwerten λ = 0.Wir sagen, daß N den Index k besitzt, falls N nilpotent vom Grade kist, d.h. falls N k = 0, N j ≠ 0für j < k. Die Transformation auf Jordan-Normalform entkoppelt das System: Mit den Vektoren( ( )u p(x):= Tv)−1 y, := T −1 B −1 f (x)q(x)erhält man das äquivalente SystemWu ′ (x) = u(x) + p(x),Nv ′ (x) = v(x) + q(x).