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164 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenStützstellen x i und einer festen Ordnung arbeiten, sind deshalb für die Praxiswenig geeignet. Jede Änderung der Schrittweite verlangt eine Neuberechnungvon Startdaten, vgl. (7.2.6), bzw. impliziert einen kompliziertenInterpolationsprozeß, was die Leistungsfähigkeit dieser Integrationsmethodenstark herabsetzt.Bei wirklich brauchbaren Mehrschrittverfahren muß man deshalb aufdie Äquidistanz der Stützstellen x i verzichten und angeben, wie man dieSchrittweiten effizient ändern kann. Die Konstruktion solcher Methoden seiim folgenden skizziert. Wir knüpfen dazu an die Gleichung (7.2.6.2) an, diedurch formale Integration von y ′ = f (x, y) erhalten wurde:y(x p+k ) − y(x p− j ) =∫ xp+kx p− jf (t, y(t))dt.Wie in (7.2.6.3) ersetzen wir den Integranden durch ein interpolierendesPolynom Q q vom Grad q, verwenden aber hier die Newtonsche Interpolationsformel(2.1.3.4), die für die Schrittweitensteuerung einige Vorteilebietet. Man erhält zunächst mit dem interpolierenden Polynom eineNäherungsformelη p+k − η p− j =∫ xp+kx p− jund daraus die Rekursionsvorschriftq∑η p+k − η p− j = f [x p ,...,x p−i ]miti=0Q q (x)dx∫ xp+kx p− j¯Q i (x)dx¯Q i (x) = (x − x p ) ···(x − x p−i+1 ), ¯Q 0 (x) ≡ 1.Im Fall k = 1, j = 0, q = 0, 1, 2, ...erhält man eine „explizite“ Formel(Prädiktor)q∑(7.2.13.1) η p+1 = η p + g i f [x p ,...,x p−i ],wog i :=∫ xp+1x pi=0¯Q i (x)dx.Für k = 0, j = 1, q = 0, 1, 2, ..., und mit p + 1 statt p erhält man eine„implizite“ Formel (Korrektor)q∑(7.2.13.2) η p+1 = η p + gi ∗ f [x p+1 ,...,x p−i+1 ]i=0