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84 6 Eigenwertprobleme6.9 EigenwertabschätzungenMit Hilfe der in Abschnitt 4.4 entwickelten Begriffe der Vektor- und Matrixnormenwollen wir nun einige einfache Abschätzungen für die Eigenwerteeiner Matrix geben. Dazu sei im folgenden ‖x‖ eine für x ∈ C ngegebene Vektornorm undlub(A) = maxx≠0‖Ax‖‖x‖die zugehörige Matrixnorm. Insbesondere verwenden wir die Maximumnorm∑‖x‖ ∞ = max |x i |, lub ∞ (A) = max |a i,k |.i iWir unterscheiden zwei Typen von Eigenwertabschätzungen:(1) Ausschließungssätze,(2) Einschließungssätze.Bei Ausschließungssätzen werden Gebiete der komplexen Ebene angegeben,in denen kein Eigenwert liegt (bzw. in deren Komplement alle Eigenwerteliegen); bei Einschließungssätzen werden Gebiete angegeben, in denen mindestensein Eigenwert liegt.Ein Ausschließungssatz vom einfachsten Typ ist der(6.9.1) Satz (Hirsch): Für alle Eigenwerte λ von A gilt|λ|≤lub(A).Beweis: Ist x Eigenvektor zum Eigenwert λ, so folgt ausdie BeziehungAx = λx, x ≠ 0,‖λx‖=|λ|·‖x‖≤lub(A) ·‖x‖,|λ| ≤ lub(A).Sind λ i die Eigenwerte von A, so nennt manρ(A) := max |λ i |1≤i≤nden Spektralradius von A. Nach (6.9.1) gilt ρ(A) ≤ lub(A) für jede Vektornorm.(6.9.2) Satz: (a) Zu jeder Matrix A und jedem ε>0 existiert eine Vektornormmitk⊓⊔